03-01-2014, 03:07
Hola gente!
Aca encontré un ejercicio en los resueltos del CEIT que me resulta rara la resolución. Dice:
A) Determine el intervalo de CV de la serie \[\sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!}(x-1)^{n}\]
B) Utilizando el resultado anterior, halle: \[\lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]
En el primer punto todo bien, el resultado es que CV para todo R, pero ahora el segundo, en el resuelto lo que hace es resolver el límite así nomás, sin usar nada de la serie y me parece que no es lo que piden
Yo lo que hice (igual creo que la flashie mal) fue igualar el termino \[(x-1)^n\] con \[sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right]\], despeje x y lo metí en la serie, y me quedó:
\[\sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]
Entonces saqué el Sn:
\[S_{1}= sen(\frac{3}{2}\pi)=-1\]
\[S_{2}= -1+2sen(\frac{5}{2}\pi)= -1 + 2 = 1\]
\[S_{3}= 1 + \frac{3}{2}sen(\frac{7}{2}\pi)= 1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\]
\[S_{4}= -\frac{1}{2}+\frac{2}{3}sen(\frac{9}{2}\pi)= -\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\]
\[S_{5}= -\frac{1}{6}+\frac{5}{24}sen(\frac{11}{2}\pi)= \frac{1}{6}-\frac{5}{24}=-\frac{1}{24}\]
\[S_{n}= \frac{(-1)^n}{(n-1)!}\]
Y finalmente:
\[\lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = 0\]
Que efectivamente es el resultado del límite, pero mepa que dio de casualidad sinceramente, porqué después revisando, llego a la conclusión de lo que hice fue asumir que
\[\lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ] = \sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]
Y creo que así no es.
Aca encontré un ejercicio en los resueltos del CEIT que me resulta rara la resolución. Dice:
A) Determine el intervalo de CV de la serie \[\sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!}(x-1)^{n}\]
B) Utilizando el resultado anterior, halle: \[\lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]
En el primer punto todo bien, el resultado es que CV para todo R, pero ahora el segundo, en el resuelto lo que hace es resolver el límite así nomás, sin usar nada de la serie y me parece que no es lo que piden
Yo lo que hice (igual creo que la flashie mal) fue igualar el termino \[(x-1)^n\] con \[sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right]\], despeje x y lo metí en la serie, y me quedó:
\[\sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]
Entonces saqué el Sn:
\[S_{1}= sen(\frac{3}{2}\pi)=-1\]
\[S_{2}= -1+2sen(\frac{5}{2}\pi)= -1 + 2 = 1\]
\[S_{3}= 1 + \frac{3}{2}sen(\frac{7}{2}\pi)= 1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\]
\[S_{4}= -\frac{1}{2}+\frac{2}{3}sen(\frac{9}{2}\pi)= -\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\]
\[S_{5}= -\frac{1}{6}+\frac{5}{24}sen(\frac{11}{2}\pi)= \frac{1}{6}-\frac{5}{24}=-\frac{1}{24}\]
\[S_{n}= \frac{(-1)^n}{(n-1)!}\]
Y finalmente:
\[\lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = 0\]
Que efectivamente es el resultado del límite, pero mepa que dio de casualidad sinceramente, porqué después revisando, llego a la conclusión de lo que hice fue asumir que
\[\lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ] = \sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]
Y creo que así no es.
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