A ver...
1) como bien dicen las rectas dadas son paralelas de ecuaciones
\[\\r_1: (x,y,z)=(0,0,2)+x(1,1,-2)\quad x\in R\\\\r_2: (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,1,-2)\quad t\in R\]
el vector formado por los puntos de ambas rectas es
\[\vec{u}=(0,1,-2)\]
la normal del plano pedido
\[\vec n=\vec u\times\vec d_{r_1}=(0,2,1)\]
o sea 2y+z+d=0, para hallar d basta evaluar cualquier punto de la recta en él de donde finalmente el plano tiene ecuacion
\[\pi: 2y+z-2=0\]
de las condiciones del ejercicio
\[\vec d_L\perp \vec n\quad \wedge \quad \vec d_L\perp \hat z\to \vec d_L=\vec n\times \hat z=(2,0,0)\]
finalmente la recta pedida tiene ecuacion
\[L: (x,y,z)=(0,0,2)+\lambda (1,0,0)\]
2)
\[La\ superficie\ S: Ax^2-y^2+2y+z^2=0\ se\ puede\ escribir\ como \]
\[S: Ax^2-(y-1)^2+z^2=-1\]
\[Si\ expreso\ la\ curva\ como\ C:\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\cos t\\y-1=\sin t \\z=0 \end{matrix}\right.\]
elevo al cuadrado la primera y la segunda, las sumo y despejo convenientemente obtengo
\[C: \left\{\begin{matrix}9x^2+(y-1)^2=1\\z=0 \end{matrix}\right.\]
Para que la proyeccion de S cumpla con lo pedido necesariamente A<0 de donde se deduce que A=-9 , luego S tiene ecuacion
\[S: -9x^2-(y-1)^2+z^2=-1\]
haciendo las intersecciones con los otros planos coordenados , finalmente S corresponde a un hiperboloide de una hoja de eje paralelo al eje z
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4) De las condiciones dadas tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas
\[\\det A=0\to 2b-a=0\\\\det(A-\lambda I)=det(A-3I)=0\to-b-a=-3\]
de donde resolviendo queda que
\[a=2\ y\ b=-1\]
El otro autovalor hechas las cuentas es 0 entonces , la dim algebraica coincide con la geometrica , por ende A es diagonalizable entonces
\[P=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 &2 \end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix}\]
5) tomo un generico (x,y) y planteo
\[(x,y)=\alpha(-1,0)+\beta(1,1)\to \alpha=y-x\ \quad \beta=y\]
luego de aplicar G a ambos lados de la igualdad
\[G:R^2\to R^3/G(x,y)=(-2x+2y,y,-x+y)\]
haciendo la composicion , hechas las cuentas (salvo error)
\[G \circ F:R^2\to R^3/G\circ F(x,y)=(-4x+4y,-3x+2y,-z+3y)\]
a) no es monomorfismo
b) el vector propuesto no pertenece a la Img GoF
El de complejos se los debo porque yo no tuve esa parte en AGA cuando la curse