Hola! yo también estoy haciendo el curso de verano!
mirá, lo más importante para los ejercicios de geometría es saber 2 cosas fundamentales, primero todas las fórmulas de áreas y volúmenes, y segundo trigonometría, pero no te preocupes que eso lo vas a ir viendo más adelante en el curso!
Sabiendo las fórmulas vas a saber relacionar lados con perímetros, perímetros con áreas y cualquiera sea la relación que te plantee el ejercicio.
En este caso el ejercicio te plantea un hexágono regular con 3 semicircunferencias dentro, y sacar el área de la diferencia entre ellos.
Ya sabés lo fundamental, que es área del hexágono menos el área de las semicircunferencias
Como bien hiciste en tu cálculo, el área de las semicircunferencias es
\[pi * r^2 * 3/2\]
pi por radio al cuadrado es la fórmula de área de un circulo, por 3/2 que serían tres mitades de círculo, se entiende? te quedaría entonces pi * 4 * 3/2
\[pi * 6\]
Ya tenés el área de las semicircunferencias (acordate que unidad de medida es \[cm^2\]!)
Ahora te falta el área del hexágono.
Hay algunas fórmulas en el libro de cursado, no hacen falta aún así las voy a usar para que sepas que hay muchas formas de llegar un mismo resultado. Un hexágono regular se puede partir en figuras más simples, como triángulos. Es como si tuvieses una pizza hexagonal y la partis en porciones triangulares, cuantas porciones podés hacer? 6 así:
Todos los triángulos tienen las mismas medidas, tanto de lados como de ángulos, solo que rotados. Entonces podés hacer el área de un triángulo solo multiplicado por 6 para que te de el hexágono! fácil no?
Para sacar el área de un triángulo necesitás saber la base (que ya la tenés de dato, es un lado del hexágono) y la
altura. Esta es la parte más complicada del ejercicio, entre comillas.
Ese tríangulo que se formó como porción es un triángulo isósceles (en este caso es equilatero), si lo partís a la mitad, marcando la altura te van a dar dos triángulos rectángulos, así:
(esa ecuación de la foto funciona, pero si no te la acordás entre tantas cagaste, así que te dejo unos pasos más complicados donde con la lógica solamente lo podés sacar)
Ahora tenés que pensar que relación tenés que hacer para que sabiendo un lado (la base) y algo más te de el valor del otro lado (la altura). Ahí es donde entra la trigonometría.
En el libro tenés esta fórmula para sacar los ángulos que conforman cualquier polígono regular, que es algo así como \[180º * (n-2) \] siendo n la cantidad de lados. Esto lo dividís por la cantidad de ángulos y te da el valor de cada uno que es 120º (720º / 6).
Cada ángulo del hexágono vas a ver que lo comparten dos triángulos, quiere decir que el ángulo de cada triángulo, es 60º (120º / 2).
Que operación relaciona los ángulos y los lados de un triángulo? las operaciones trigonométricas!! coseno, seno, tangente, etc PERO! acordate que solo sirven para triángulos rectángulos, vos por suerte tenés dos por cada triángulo, acá:
entonces te queda que los valores conocidos de cada triángulo rectángulo son
a) la base ( cuatro dividido dos, o sea el lado del hexágono dividido dos porque entran dos triángulos rectángulos en cada lado) y
b) un ángulo (60º, aunque sabiendo que la sumatoria de todos los ángulos internos de un triangulo es 180º, y que uno es de 90º, el otro mide 30º). Necesitás sacar el otro lado, y tomando a 60º tenés:
\[cateto opuesto / cateto adyacente = tangente 60º\]
cateto opuesto es el lado que vas a sacar, cateto adyacente es 2 y tangente de 60 lo hacés con la calcu, pasás el cateto adyacente multiplicando y te queda
\[cateto opuesto = tangente 60º * 2\]
Ese valor que es apróx 3.464... es la altura de tu triángulo! entonces procedés a hacer el área del triángulo base por altura sobre dos
\[\frac{(tg 60º * 2) * 4 }{2}\]
Esa es el área de un triángulo, si lo multiplicás por 6 te da el área del hexágono... Con eso y un bizcocho tenés casi el resultado!! te dejo a que lo termines