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[Álgebra] Autovalores y Autovectores
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juanpablom89 Sin conexión
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Mensaje: #1
[Álgebra] Autovalores y Autovectores Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
Hola!! Necesito ayuda con estos ejercicios, por favor!


1)Sea un Transformación Lineal T:R3--->R3 / T(x,y,z)= (2x-3y+5z , -y+5z , 4z)

Hallar, si es posible, una base B de R3 tal que la matriz MB(T) sea diagonal.


2) Sea S= gen {(1,1,0,1) (0,1,1,2) (-1,0,1,1)}

a) Defina, si es posible, una transformación lineal T:R4--->R4 que verifique simultáneamente: S es autoespacio de T asociado al autovalor (-1) y dim(Nu T)=2.

b) Indique si existe una base de R4 formada por autovectores de T. En caso afirmativo, obtenga la matriz asociada a T respecto de dicha base.
03-03-2009 21:25
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leandrong Sin conexión
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Mensaje: #2
Re: [Álgebra] Autovalores y Autovectores
¿No es M (T) BB ?
¿O es M de la base de (T) ?

Si es de la guía que ejercicio es?
Avisame y veo de hacerlo.
04-03-2009 00:57
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juanpablom89 Sin conexión
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Mensaje: #3
Re: [Álgebra] Autovalores y Autovectores
leandrong escribió:¿No es M (T) BB ?
¿O es M de la base de (T) ?

Si es de la guía que ejercicio es?
Avisame y veo de hacerlo.


Si si, es de la guía. Es el ejercicio nº10 del T.P. de Autovalores y Autovectores, y el otro es el ejercicio nº 14.
04-03-2009 09:40
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leandrong Sin conexión
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Mensaje: #4
Re: [Álgebra] Autovalores y Autovectores
14) a)

Por la definición de autovalor con TL. T (v) = a * v.

T (1,1,0,1) = -1 (1,1,0,1)
T (0,1,1,2) = -1 (0,1,1,2

El 3er vector (-1,0,1,1) es LD de los dos primeros, por eso lo sacamos y nos viene barbaro porque la Dimensión de la Imagen es 2 y la del nucleo tiene que ser 2. Y es de R4 (Dim = 4)

Sabemos que el Nucleo tiene que ser de Dimensión 2. Elegimos 2 vectores qu e sean L.I. con respecto a los otros dos.
(1,0,0,0) y (0,1,0,0) lo son.

Entonces queda así formado:
T (1,1,0,1) = (-1,-1,0,-1)
T (0,1,1,2) = (0,-1,-1,-2)
T (1,0,0,0) = (0,0,0,0)
T (0,1,0,0) = (0,0,0,0)

Buscamos la TL.
(x,y,z,w) = A (1,1,0,1) + B (0,1,1,2) + C (1,0,0,0) + D (0,1,0,0)
(x,y,z,w) = (A+C, A+B+D , B , A+2B)

x = A+C
y = A+B+D
z = B
w = A+2B

Necesitamos saber A y B nada más porque los otros transformados van al 0000.
B = z.
A = w - 2 z.

Aplicamos la Transformación y queda:

T(x,y,z,w) = (w-2z) (-1,-1,0,-1) + z (0,-1,-1,-2) + (0,0,0,0) + (0,0,0,0)
T(x,y,z,w) = (-w+2z , -w+2z , 0 ,-w+2z) + (0, -z, -z, -2z)

T(x,y,z,w) = ( 2z - w , z - w , -z , -w )


Listo, encontramos la TL pedida.

b) Creo que es como el 10a) (lo respondí abajo de este post)

Sacas los autovalores y formás D que es la matriz ascoiada a T en base B.
Lo que no sé es de dónde sacar los autovalores ya que de:
1101
0112
1000
0100
NO me dan -1,-1,0,0 lo autovalores.
04-03-2009 12:11
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leandrong Sin conexión
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Mensaje: #5
Re: [Álgebra] Autovalores y Autovectores
10) a) No estoy seguro pero creo que es así:
Sacas los autovalores de la matriz y formas D. D es semejante a A. Tiene los mismos autovalores y es diagonal. Entonces:

MB(T) =

-100
040
002

b) No tengo ni idea cómo hacerlo. Como no escribiste la consigna la pongo acá por si alguién quiere contestarla:

10) b) Halle otra TL distinta de la dada que tenga los mismos autovalores de T.

Espero haberte ayudado aunque sea un poco. Y espero que alguien conteste las dudas que me quedaron con los puntos b.

Saludos
Leito.
04-03-2009 12:23
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juanpablom89 Sin conexión
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Mensaje: #6
Re: [Álgebra] Autovalores y Autovectores
leandrong escribió:10) a) No estoy seguro pero creo que es así:
Sacas los autovalores de la matriz y formas D. D es semejante a A. Tiene los mismos autovalores y es diagonal. Entonces:

MB(T) =

-100
040
002

Yo hice algo con este ejercicio pero no se si está bien.

Una vez que obtuve la matriz D, me di cuenta de que cada columna de dicha matriz son las coordenadas en base B (que es, en definitiva, lo que queremos hallar) de los transformados de cada vector de la base canónica de R3. Entonces:

T(1,0,0)=(2,0,0)= -1(a,b,c) + 0(d,e,f) + 0(g,h,i) (1)

T(0,1,0)=(-3,-1,0)= 0(a,b,c) + 2(d,e,f) + 0(g,h,i) (2)

T(0,0,1)=(5,5,4)= 0(a,b,c) + 0(d,e,f) + 4(g,h,i) (3)


de (1): (a,b,c)=(-2,0,0)

de (2): (d,e,f)=(-3/2,-1/2,0)

de (3): (g,h,i)=(5/4,5/4,1)


Que son 3 vectores l.i. que conforman una base de R3.


Y para el punto 10)b creo que pondría la matriz

-1 0 0
0 2 0
0 0 4

Porque me genera otra transformación lineal que tiene los mismos autovalores que T.
04-03-2009 14:52
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leandrong Sin conexión
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Mensaje: #7
Re: [Álgebra] Autovalores y Autovectores
Cita:-1 0 0
0 2 0
0 0 4

Porque me genera otra transformación lineal que tiene los mismos autovalores que T.

¿Como generaste la transformación a partir de eso?

En la original si uso el (1,1,1) ---> T(1,1,1) = (4,-4,4) y en la que encontraste vos tendría que dar lo mismo. ¿Pero como hiciste?
04-03-2009 19:41
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Jarry Sin conexión
Anomalía de Belady
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Mensaje: #8
Re: [Álgebra] Autovalores y Autovectores
leandrong escribió:
Cita:-1 0 0
0 2 0
0 0 4

Porque me genera otra transformación lineal que tiene los mismos autovalores que T.
¿Como generaste la transformación a partir de eso?
En la original si uso el (1,1,1) ---> T(1,1,1) = (4,-4,4) y en la que encontraste vos tendría que dar lo mismo. ¿Pero como hiciste?

no recuerdo como se genera la transf a partir de eso. pero deberia cumplirse esto:
-1 0 0 1 4
T(1,1,1)= 0 2 0 x 1 = -4
0 0 4 1 4



Off-topic:
para cuando latex?? roll

No estoy necesariamente de acuerdo con lo que dice en el post de arriba
[Imagen: 971aa6599664453c05cb3e42d58bbc0eo.jpg]
05-03-2009 08:53
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