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13 en 10 posts · 01-02-2012 16:42

Hola tengo una duda sobre un ejercicio de final..

Dice: Sea un polinomio caracteristico: $p(\lambda ) = (\lambda -1)(\lambda -2)^2 de la matriz A perteneciente a \Re ^3x3$
Sabiendo que: $S = {X e R^(3x1)/x1+2x3=0}$ es un autoespacio de A, analice si A es diagonalizable.

Yo se que lambda = 2 es autovalor doble y que lambda = 1 es simple.

La respuesta dice que es diagonalizable porque la dimensión del autoespacio asociado a lambda = 2 es igual a la multiplicidad del autovalor.
No entiendo, alguno me explica?

Gracias!

21 en 17 posts · 01-02-2012 17:14

Yo esto lo sabía Jajaja. A ver tiro un par de ideas a ver si sale.

$S$ , autoespacio de $A$ :

$x_1+2x_3=0$

$x_1=-2x_3$

$Base_S={(-2,0,1);(0,1,0)}$

$Dim_S=2$ //Porque depende de $x_2$ y $x_3$ .

También sabés que los autovalores de la matriz $A$ son 1 y 2 (con multiplicidad 2).

Teniendo la base del autoespacio $S$ armás la matriz $A$ :

$A=\begin{pmatrix}-2& 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ a & b & c\end{pmatrix}$

Planteás la búsqueda de autovalores:

$\begin{pmatrix}-2-\lambda& 0 & 1\\ 0 & 1-\lambda & 0\\ a & b & c-\lambda\end{pmatrix}$

Para $\lambda=1$ (CASO 1):

$\begin{pmatrix}-3& 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ a & b & c-1\end{pmatrix}$

Para $\lambda=2$ (CASO 2):

$\begin{pmatrix}-4& 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ a & b & c-1\end{pmatrix}$

Una vez planteado todo eso, fijate que en el CASO 1 de la fila 2 de la matriz obtenés que $y=0$ por lo tanto la dimensión de la matriz $A$ es igual a $2$ , igual que la dimensión de su autoespacio $S$ . Por lo tanto es diagonalizable.

Si mal no recuerdo es un concepto teórico, que dice que si el autoespacio de una matriz $A$ tiene la misma dimensión que la misma matriz, entonces dicha matriz es diagonalizable. Creo que es así, por las dudas esperá que aparezca alguno con los temas frescos.

Saludos!

13 en 10 posts · 01-02-2012 17:47

Si pero osea..
Para el caso 1 yo se que es diagonalizable pero el caso 2 que es el de multiplicidad algebraica 2 no se si coincide...

21 en 17 posts · 02-02-2012 00:13

Perdón, quise decir CASO 2.

Y en el CASO 1 pasa lo mismo, porque una fila es nula... también se da la condición de dimensión 2. Por lo tanto es dagonalizable.

13 en 10 posts · 02-02-2012 20:47

Joya, creo que entendí voy a buscar alguno para hacer.

Gracias!

21 en 17 posts · 02-02-2012 21:29

Piola

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