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[Algebra] Duda de final
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Feer Sin conexión
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Mensaje: #1
[Algebra] Duda de final Finales y 1 más Álgebra y Geometría Analítica
Hola tengo una duda sobre un ejercicio de final..

Dice: Sea un polinomio caracteristico: \[p(\lambda ) = (\lambda -1)(\lambda -2)^2 de la matriz A perteneciente a \Re ^3x3\]
Sabiendo que: \[S = {X e R^(3x1)/x1+2x3=0}\] es un autoespacio de A, analice si A es diagonalizable.

Yo se que lambda = 2 es autovalor doble y que lambda = 1 es simple.

La respuesta dice que es diagonalizable porque la dimensión del autoespacio asociado a lambda = 2 es igual a la multiplicidad del autovalor.
No entiendo, alguno me explica?

Gracias!

[Imagen: digitalizartransparent.png]
01-02-2012 16:42
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matyary Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Algebra] Duda de final
Yo esto lo sabía Jajaja. A ver tiro un par de ideas a ver si sale.

\[S\], autoespacio de \[A\]:

\[x_1+2x_3=0\]

\[x_1=-2x_3\]

\[Base_S={(-2,0,1);(0,1,0)}\]

\[Dim_S=2\] //Porque depende de \[x_2\] y \[x_3\].

También sabés que los autovalores de la matriz \[A\] son 1 y 2 (con multiplicidad 2).

Teniendo la base del autoespacio \[S\] armás la matriz \[A\]:

\[A=\begin{pmatrix}-2& 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ a & b & c\end{pmatrix}\]

Planteás la búsqueda de autovalores:

\[\begin{pmatrix}-2-\lambda& 0 & 1\\ 0 & 1-\lambda & 0\\ a & b & c-\lambda\end{pmatrix}\]

Para \[\lambda=1\] (CASO 1):

\[\begin{pmatrix}-3& 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ a & b & c-1\end{pmatrix}\]

Para \[\lambda=2\] (CASO 2):

\[\begin{pmatrix}-4& 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ a & b & c-1\end{pmatrix}\]

Una vez planteado todo eso, fijate que en el CASO 1 de la fila 2 de la matriz obtenés que \[y=0\] por lo tanto la dimensión de la matriz \[A\] es igual a \[2\], igual que la dimensión de su autoespacio \[S\]. Por lo tanto es diagonalizable.

Si mal no recuerdo es un concepto teórico, que dice que si el autoespacio de una matriz \[A\] tiene la misma dimensión que la misma matriz, entonces dicha matriz es diagonalizable. Creo que es así, por las dudas esperá que aparezca alguno con los temas frescos.

Saludos!

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]
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Mi web: Von Hexlein
01-02-2012 17:14
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Mensaje: #3
RE: [Algebra] Duda de final
Si pero osea..
Para el caso 1 yo se que es diagonalizable pero el caso 2 que es el de multiplicidad algebraica 2 no se si coincide...

[Imagen: digitalizartransparent.png]
01-02-2012 17:47
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Mensaje: #4
RE: [Algebra] Duda de final
Perdón, quise decir CASO 2.

Y en el CASO 1 pasa lo mismo, porque una fila es nula... también se da la condición de dimensión 2. Por lo tanto es dagonalizable.

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]
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Mi web: Von Hexlein
02-02-2012 00:13
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Mensaje: #5
RE: [Algebra] Duda de final
Joya, creo que entendí voy a buscar alguno para hacer.

Gracias!

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02-02-2012 20:47
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Mensaje: #6
RE: [Algebra] Duda de final
Piola thumbup3

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]
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Mi web: Von Hexlein
02-02-2012 21:29
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