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Algebra - Transformacion lineal y diagonalizacion
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ws830106 Sin conexión
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Mensaje: #1
Algebra - Transformacion lineal y diagonalizacion Parciales Álgebra y Geometría Analítica
Hola, gente!

Quisiera consultarles a ustedes con este ejercicio que me tomaron en parcial.
Abajo le dejo la foto y algo que yo intente hacer!(solo intente con el punto 3, lo resto no tng idea =( )

Muchas gracias!
[Imagen: 1453296_620722231325524_84976842_n.jpg]

[Imagen: 1468519_620693971328350_2041985412_n.jpg]

[Imagen: 1476345_620693817995032_1980349122_n.jpg]
PS. en el punto b, me salio L.D., que no debe pasar(?
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-12-2013 21:31 por ws830106.)
29-11-2013 18:09
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Wasol Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Algebra - Transformacion lineal y diagonalizacion
Vaya parcial!

Bueno, te cuento que el ejercicio 2.a se resuelve usando A.x=t(x) donde A es la matriz que te da, x es el vector (o la base de los vectores) que estas buscando y t(x) es la base que te da como dato (alfa, alfa+1, alfa-2). Haciendo eso te queda



Haciendo el producto de matrices y las sustituciones necesarias llegas a que la terna es solución de una recta. es decir:




Para el 2.b, hacé lo mismo, igualando la multiplicación por el vector 0. Si encontras que el vector x=0 entonces es inyectiva, caso contrario no lo es.

Para el 2.c, si sacas bien te da que la TL es inyectiva, entonces dim(Nu)=0, y las bases de la imagen son las columnas de la matriz A. Luego dim(Im)=3.

Y para el 2.d primero calculá el determinante de la matriz. Si es distinto de 0 buscá la matriz inversa de la TL. No sé cómo te resulte más fácil: pivoteando o triangulando.

El 3.a es un poquito rebuscado. Pero sale.

Lo que tenes que hacer es lo siguiente:

Primero planteas el sistema a diagonalizar como SIEMPRE se hace. Hallás el polinomio característico que te queda:



Sacas factor común , y te queda que el polinomio es igual a 0 para todo que aparezca. Esto no es lo que importa, sino lo que sigue...

Planteas la ecuación resolvente (dado que te queda )



Eso te da 2 posibles. Que no te asuste la incógnita! . Ahí es donde te preguntas ¿Cuándo una matriz es diagonalizable? Cuando los hallados son distintos (aunque no siempre sea así, plantealo de esta manera), así que separas las dos raíces posibles (la que te da con el + y la que te da con el -) y las igualas



A partir de ahí te da dos valores de K para los que POSIBLEMENTE la matriz NO sea diagonalizable, los reemplazas en la matriz y podes ver si realmente son o no diagonalizables con esos valores. (Tené siempre en cuenta que una matriz es diagonalizable si la multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica)
.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-12-2013 10:09 por Wasol.)
01-12-2013 09:39
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Mensaje: #3
RE: Algebra - Transformacion lineal y diagonalizacion
(01-12-2013 09:39)wasolca escribió:  Vaya parcial!

Bueno, te cuento que el ejercicio 2.a se resuelve usando A.x=t(x) donde A es la matriz que te da, x es el vector (o la base de los vectores) que estas buscando y t(x) es la base que te da como dato (alfa, alfa+1, alfa-2). Haciendo es.............

Gracias wasolca, pero si es posible me podrias explicar mejor con respecto a punto 2 a ?
porque no tengo idea como remplazaste para salir con numeros reales
Muchas gracias!!
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-12-2013 21:34 por ws830106.)
01-12-2013 21:33
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Wasol Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: Algebra - Transformacion lineal y diagonalizacion
Si haces el producto de matrices te queda un sistema de ecuaciones:

y-z=a
x-y+z=a+1
x-z=a-2

Reemplazas

x-y+z=y-z+1 (la primer ecuación en la segunda)
x-2y+2z=1

x-z=y-z-2 (la primer ecuación en la tercera)
x=y-2

Ahora reemplazas x de esta ultima en la segunda

y-2-2y+2z=1
y=2z-3

ahora para que x te quede en relación a z, reemplazas y en la ecuación anterior

x=y-2=2z-3-2=2z-5

Entonces la terna te queda

(x,y,z)=(2z-5,2z-3,z)

despejando te queda la recta anterior. Si te queda duda, ponele un valor a lambda y al valor que te da en la terna, úsalo para multiplicar la matriz y vas a ver que te queda
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 02-12-2013 00:37 por Wasol.)
02-12-2013 00:35
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