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[AMII] TP1 Ejercicio 10
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Troyano Sin conexión
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Otra
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Mensaje: #1
[AMII] TP1 Ejercicio 10 Ejercicios Análisis Matemático II
Cómo andan, los vengo a molestar con este ejercicio de ecuaciones diferenciales, el del circuito eléctrico (busqué por el foro pero no está), si alguno se tomó el trabajo de hacerlo o puede entenderlo rápidamente, no es de los importantes del tema ni mucho menos de la materia, de hecho la dificultad creo que está en lo que refiere a ecuaciones diferenciales, pero no le encuentro la vuelta para llevar la expresión de i a la forma que ahí pide:

[Imagen: 14nfix4.jpg]

Si alguno me puede dar una mano, estaré muy agradecido. Saludos.
06-01-2015 18:35
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Wasol Sin conexión
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Ing. en Sistemas
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Mensaje: #2
RE: [AMII] TP1 Ejercicio 10
Usa R y L como constantes, al igual que E. Entonces es como resolver una lineal común.
06-01-2015 20:10
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Troyano (07-01-2015)
John_Doe* Sin conexión
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Ing. Electrónica
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Mensaje: #3
RE: [AMII] TP1 Ejercicio 10
Este ejercicio es mejor encararlo pensando en "física 2" (o con Asys donde lo vivis usando) pero usando las herramientas del análisis matemático:

Dado que es un circuito en serie la corriente que circula es la misma para los dos componentes, vos podes decir que:

(1)
(2)
(3)

Donde i(t) es la corriente que circula a través del circuito una vez cerrado el interruptor. Considera también que por condición inicial te dan i(t = 0) = 0 con lo cual no es necesario tomar un comportamiento activo por parte de la bobina previo a cerrar el interruptor.

Tene en cuenta que vamos a decir que la tensión de la fuente de alimentación es constante (mejor dicho, invariable en el tiempo), pero en el circuito el resistor y la bobina se comportan de manera dependiente en función del tiempo hasta que pasado el transitorio (generalmente definido como 5 veces tau) podes despreciar y decir que la bobina se comporta como un cable.

Para continuar vamos a decir que nuestra "salida" del sistema es i(t) y nuestra entrada es una constante E
Reemplazando en (1) (2) y (3) :



Liberamos de constantes nuestra derivada para armar la ecuación diferencial (divido por la autoinductancia de la bobina):



Para resolver esta ecuación vamos a usar el método de obtener la solución general como suma de la solución homogénea más la particular:

Solución homogénea:





Resulta:



Solución particular:

Si nuestra entrada es una constante E podemos decir que la salida tendrá un coportamiento similar tal que mi solución particular será en forma igual a la entrada, o sea una constante que llamo A:





Sumando obtenemos la expresión de la solución general:



Y por la condición de contorno tenemos que:



Con lo cual nos queda la expresión de la salida de nuestro sistema como:



Definiendo a tau como (L/R) (la constante de tiempo de tu circuito) queda:



Si vos te fijas atentamente tiene logica ya que si haces tender t a infinito (o sea completamente superado el transitorio) solamente te va a quedar la componente resistiva de tu circuito y por consecuencia circula la corriente máxima que es E/R (como si la bobina fuera un cable).
Pero durante el transitorio la corriente empieza levemente a incrementar; limitada por la inercia de la bobina que se opone al cambio en el circuito tanto al cerrar el interruptor (como componente pasivo) como al abrirlo (activo)

Y esto es lo que vos verías si tomaras como salida la tensión de la bobina o bien la corriente:

[Imagen: 13image_11.png]

[Imagen: 335x50sfm_1.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 06-01-2015 23:03 por John_Doe*.)
06-01-2015 22:54
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[-] John_Doe* recibio 1 Gracias por este post
Troyano (07-01-2015)
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Otra
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Mensaje: #4
RE: [AMII] TP1 Ejercicio 10
Mil gracias, perfectamente explicado. No recordaba ese método para resolver ecuaciones diferenciales, ya que casi ni se vio en la cursada.
Lo voy a agregar al índice de ejercicios resueltos de la materia.
07-01-2015 16:55
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