Modo compacto | Modo extendido

1.451 en 145 posts · 24-05-2012 04:00

La velocidad \[v\] de una onda de longitud \[L\] es \[v_{(L)}=k\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}\], donde \[k\] y \[c\] son constantes positivas conocidas.
¿Cuál es la longitud de onda que da lugar a la velocidad mínima?

Desde ya, gracias.

90 en 56 posts · 24-05-2012 09:27

Para calcular los extremos, igualamos la derivada a cero:

\[{V(L)}' = 0\]

\[{V(L)}' = \frac{1}{2} K \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}+\frac{C}{L}}} \left (\frac{1}{C}-\frac{C}{L^{2}} \right )\]

\[\frac{1}{2} K\] y \[\frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}+\frac{C}{L}}}\] no pueden ser cero, por lo que:

\[\frac{1}{C}-\frac{C}{L^{2}} = 0\]

De ahi que:

\[\left | L \right | = C\]

Luego tendras que verificar cual de los dos valores es el que te da un minimo (haciendo la derivada segunda o poniendo valores cercanos y ver que es lo que da)

1.451 en 145 posts · (25-05-2012)

Gracias!

Teniendo:

\[{\color{DarkBlue} v_{(L)}=k\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}}\]

Hallo su derivada:

\[{\color{DarkBlue} v_{(L)}'=k \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}} \cdot \left (\frac{1}{c} -\frac{c}{L^2} \right )}\]

Como tenemos que:

\[{\color{DarkBlue} k>0 \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \frac{1}{2}>0 \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}}\neq 0}\]

y necesitamos que:

\[{\color{DarkBlue} v_{(L)}'= 0}\]

La única manera de que pase eso sería que:

\[{\color{DarkBlue} \frac{1}{c} -\frac{c}{L^2} = 0}\]

Entonces, resolvemos:

\[{\color{DarkBlue} \frac{1}{c} -\frac{c}{L^2} = 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{1}{c} = \frac{c}{L^2} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ L^2 = c^2 }\]

Ahora, como sabemos por el enunciado que la constante \[{\color{DarkBlue} c}\] es positiva:

\[{\color{DarkBlue} L^2 = c^2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ L = c}\]

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