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Aporte: Ejercicio de Inducción de la derivada en Parcial 14/7/14
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Smitten1994 Sin conexión
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La verdad es que no hay una ve...
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Mensaje: #1
Aporte: Ejercicio de Inducción de la derivada en Parcial 14/7/14 Ejercicios Matemática Discreta
Hola, vengo a decirles que el ejercicio 4b del Parcial de Matemática Discreta del día 14/7/14 del T.M. , tema 2, pedía:

Probar por inducción que para n>0 la derivada de f(x)=x.n es f'(x)=n.x^(n-1)

BASE INDUCTIVA:

Para n=1:

d/dx(x^n)= n.x^(n-1)
d/dx(x^1)= (1).x^(1-1)
d/dx(x)= x^(0)
d/dx(x)= 1

PASO INDUCTIVO:

HIPÓTESIS INDUCTIVA: Para n=h

d/dx(x^h)=h.x^(h-1)

TESIS INDUCTIVA: Para n=h+1

d/dx(x^(h+1))=(h+1)x^(h+1-1)
d/dx(x^(h+1))=(h+1).x^(h)

DEDUCCIÓN:

Vamos a trabajar con la tesis (en esta involucraremos a la hipótesis), recordando que x^(h+1) = (x^(h))*(x), esto lo sustituiremos:

d/dx(x^(h+1)) = d/dx[(x^(h)) * (x)], Esto es un producto, Osea que es la derivada del producto:

=d/dx [(x^(h)] * (x) + [x^(h)] * d/dx [x]

Nota que aparece en esa expresión la derivada de x^(h), pero por la hipótesis de inducción sabemos que:

d/dx(x^h)=h.x^(h-1),

y también de n=1 sabemos que:

d/dx(x)=1;

sustituyéndolo:

=h * (x^(h-1)) * x + x^(h)*(1), aplicando leyes de los exponentes y reagrupando:

=h* (x^(h)) * x * (x^(-1)) + x^(h)

=h*(x^(h)) + x^(h), factorizando x^(h):

=(x^(h)) * ( 1 + h )

= (h+1) . (x^(h)) Es la tesis!


DESGRACIADAMENTE A MI NO ME SALIO EN EL MOMENTO DEL PARCIAL, PERO DESPUÉS DE TODO NO RESULTA TAN COMPLICADO, SOLO HAY QUE SABER BIEN QUE EN LA DEDUCCIÓN TENES QUE HACER LA DERIVADA DEL PRODUCTO; ES UNA VARIANTE MAS QUE LOS PROBLEMAS COMUNES DE INDUCCIÓN, PERO NADA DEL OTRO MUNDO
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 17-07-2014 17:24 por Smitten1994.)
17-07-2014 17:24
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[-] Smitten1994 recibio 1 Gracias por este post
Pattie (17-07-2014)
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Mensaje: #2
RE: Aporte: Ejercicio de Inducción de la derivada en Parcial 14/7/14
¿Esto tomaron en Discretas? Son muy ocurrentes realmente. Si no tenes un master en matemáticas, no te sacas un 10 ni ahí ._.
18-07-2014 20:59
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