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Ayuda con demostración de esta igualdad
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alfred_oh Sin conexión
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Mensaje: #1
Ayuda con demostración de esta igualdad Dudas y recomendaciones Análisis Matemático I
Buenas tengo que demostrar esta igualdad para n>=2
[Imagen: 69216686.png]
Me sugieren utilizar esta formula como ayuda
[Imagen: 91168322.png]
y luego hacer las siguientes operaciones
[Imagen: 21637110.png]
pero no caigo, no se de que manera me podrían ayudar.
Alguien me puede ayudar porfa? Gracias!
21-04-2013 11:37
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chimaira Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Ayuda con demostración de esta igualdad
A ver si algo así puede ser...

\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=n(1+z)^{n-1}\]

\[\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}(1+z)^n=n(n-1)(1+z)^{n-2}\]

Ahora si

\[(1+z)^n=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}z^k\]

Se me ocurre que podrías derivar miembro a miembro la igualdad, es decir

\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}z^k\]

Que creo que quedaría algo así

\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}z^k\]

Y si esto último es válido, tendría entonces

\[n(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^{k-1}\]

Si con el mismo criterio derivas respecto de Z otra vez, obtendrías lo siguiente

\[n(n-1)(1+z)^{n-2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k(k-1)z^{k-2}\]

Si operás un poco el segundo miembro, y si yo no me equivoco tampoco, podrías llegar a la siguiente expresión

\[n(n-1)(1+z)^{n-2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k^2z^k-kz^k}{z^2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k^2z^k}{z^2}-\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{kz^k}{z^2}\]

Ahora podés traer el divisor z^2 hacia la izquierda de esta forma, puesto que es común denominador

\[n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k-\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k\]

Pasando la segunda sumatoria, la que está restando, también hacia la izquierda tendrías...

\[\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]

Recordando que...

\[n(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^{k-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k\frac{z^k}{z}\]

De donde

\[nz(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k\]

Ahora podría reemplazar en la expresión vista antes

\[\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]

\[nz(1+z)^{n-1}+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]

Y parece que salió =)
Si no me equivoqué en ningún paso intermedio, todo parece bastante coherente jejejeje
¡No me tenía fe! Contá que te parece después y si eventualmente es correcta la resolución
Saludos, suerte!

[Imagen: firma-2.jpg]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 23-04-2013 04:10 por chimaira.)
23-04-2013 03:55
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[-] chimaira recibio 2 Gracias por este post
Brich (23-04-2013), ivanperelman (06-05-2013)
alfred_oh Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Ayuda con demostración de esta igualdad
Gracias por la expliación! Ahora ya lo entendí, de veras muchas gracias! =)
03-05-2013 16:40
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