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Ayuda con ejercicio casi resuelto - Transformaciones lineales
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MrBrownstone94 Sin conexión
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Ing. Mecánica
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Mensaje: #1
Ayuda con ejercicio casi resuelto - Transformaciones lineales Dudas y recomendaciones Álgebra y Geometría Analítica
Hola gente! Tengo una duda con un ejercicio de transformaciones lineales.. Lo tengo casi hecho pero no se bien como terminarlo.

Dice
Sea la funcion F: R(2x2) --> R3 / f \[\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix}a+b-c\\a+b+d \\ b+c+d\end{pmatrix}\]

Halle la matriz respecto de las bases

\[\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

y \[\begin{pmatrix}0\\2 \\ 0\end{pmatrix}\], \[\begin{pmatrix}2\\0 \\ 1\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}0\\1\\ 1 \end{pmatrix}\]

Utilizando la matriz obtenida hallar la imagen de \[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}\]


________________________________________________________________________________________________________________

Hasta ahi el enunciado, para hallar la matriz en esas bases calculo la transformada de cada elemento de la base de salida, lo transformo despues a la base de llegada y los vectores que obtengo los pongo como columnas de la matriz.

Llego a esta: \[\begin{pmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0\\ 1/2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\]

Mi duda aparece cuando me pide que calcule la imagen de \[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}\]

A esa matriz, tengo que cambiarle la base por la que da el ejercicio? La tengo que dejar asi? Se me acabaron las ideas =(

Graciasss de antemano por la respuesta
05-02-2016 11:53
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Kira90 Sin conexión
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Ing. Electrónica
Facultad Regional Buenos Aires

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Mensaje: #2
RE: Ayuda con ejercicio casi resuelto - Transformaciones lineales
Sí, esa matriz a la que tenés que calcularle la imagen está en la base canónica. Si para allar la imagen lo que vas a hacer es multiplicarlo por la matriz de la transformación obtenida sí, tenés que pasarla a las bases que te dan (ojo que el resultado tmb va a estar en esa otra base).

Otra forma es hallar la matriz de transformación en de canónica a canónica y multiplicás directamente... pero allá vos!

Si estoy pifiando en lo que digo, no duden en putearme.
05-02-2016 12:27
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[-] Kira90 recibio 1 Gracias por este post
MrBrownstone94 (15-02-2016)
Celuloide Sin conexión
Empleado del buffet
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Registro en: Jan 2016
Mensaje: #3
RE: Ayuda con ejercicio casi resuelto - Transformaciones lineales
La matriz \[\begin{pmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0\\ 1/2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\] Es MB1B2 O MBB' según la notación

MB1B2*[V]B1=T[V]B2


Se expresa \[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}\] Como combinacion lineal de B1:
\[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

\[\begin{matrix}-1=a+b\\ 3=a+d\\ 2=a+b+d\\ 2=a+c+d\end{matrix}\]

a=0;b=c=-1;d=3

\[\begin{pmatrix}0\\ -1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}\]

Al hacer

\[\begin{pmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0\\ 1/2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\] * \[\begin{pmatrix}0\\ -1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}\] =\[\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 4\end{pmatrix}\]

Ahora:

\[(a,b,c)=0*(0,2,0)+0*(2,0,1)+4*(0,1,1)\]

\[(a,b,c)=(0,4,4)\]

Haciendo \[T(\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2& 2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0\\ 4\\ 7\end{pmatrix}\]

Se llega a un resultado distinto, por lo que seguro tuve algun error de calculo o sacaste mal la matriz asociada, de todas maneras el procedimiento es este
05-02-2016 16:04
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[-] Celuloide recibio 1 Gracias por este post
MrBrownstone94 (15-02-2016)
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