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ayuda dimension y multiplicidad geometrica
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Julieta_love Sin conexión
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Mensaje: #1
Lightbulb ayuda dimension y multiplicidad geometrica Finales Álgebra y Geometría Analítica
hola chicos alguno me puede dar una mano con este ejercicio?


"Se sabe que una transformacion lineal t:r3->r3 tiene el autovalor λ=3 con multiplicidad geometrica 1 y el autovalor λ2=5 con multiplicidad geometrica 2. Justifique la existencia de la base de autovectores e indique cual puede ser una matriz asociada a la transformacion, referida a dicha base."
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 04-02-2016 16:29 por Julieta_love.)
04-02-2016 16:23
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Pipicito Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: ayuda dimension y multiplicidad geometrica
La multiplicidad geométrica de un autovalor es la dimensión del autoespacio asociado al autovalor. La multiplicidad algebraica es la multiplicidad de como raíz del polinomio característico.

Tenés de dimensión 1 y de dimensión 2 por el enunciado. Ponele que considerás bases de y de . Si podés probar que y están en suma directa, entonces tiene dimensión 3 y por lo tanto y es base de .

Para ver que y están en suma directa hay que ver que . Si entonces y de acá sale . Como , resulta .

Listo, es una base de autovectores.

PD: que alguien arregle la relación Latex-resto del texto porque queda horrible cuando se usan subíndices o matrices o cosas así
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 04-02-2016 17:55 por Pipicito.)
04-02-2016 17:53
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Mensaje: #3
RE: ayuda dimension y multiplicidad geometrica
Gracias Pipicito!!!

Y como se cual es la matriz A que me piden a partir de saber que es una base de autovectores, si no me dan los autovectores ni la transformacion?
04-02-2016 18:22
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Pipicito Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: ayuda dimension y multiplicidad geometrica
Pensalo usando que los son autovectores.
04-02-2016 18:33
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Julieta_love Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: ayuda dimension y multiplicidad geometrica
Hola con un compañero lo tratamos de resolver y lo hicimos asi, nose si a esto re referias Pipicito

El enunciado dice que λ=3 con multiplicidad geometrica 1 y el autovalor λ2=5 con multiplicidad geometrica 2, es decir λ2 se repite 2 veces.

Como me pide una matriz cualquiera asociada a una transformacion planteamos:
a-λ 0 0
0 b-λ 0
0 0 c-λ <- La matriz asociada a la transformacion

Hicimos el determinante |A- λi| =0

(a-λ)*(b-λ)*(c-λ)=0 , pero como λ2 tiene multiplicidad geometrica 2, b=c
(a-λ)*(b-λ)^2
Como λ1=3 -> a=3; λ2=5 -> b=c=5

La matriz asociada en la base canonica sera

3 0 0
0 5 0
0 0 5 T(x,y,z)=(3x,5y,5z)

Hicimos (A-λ)(x)=0
Y llegamos a los autovectores (1,0,0)(0,1,1)(0,1,-1) Como son LI y son 3 forman una base de r3

T(1,0,0)=(3,0,0)
(3,0,0)=a(1,0,0)+b(0,1,1)+c(0,1,-1)
V1=(3,0,0)
T(0,1,1)=(0,5,5)
(0,5,5)=a(1,0,0)+b(0,1,1)+c(0,1,-1)
V2=(0,5,0)
T(0,1,-1)=(0,5,-5)
(0,5,-5)=a(1,0,0)+b(0,1,1)+c(0,1,-1)
V3=(0,0,5)

Y la matriz queda
3 0 0
0 5 0
0 0 5

Nos quedo igual que la inicial, quiere decir que la inicial ya estaba en base de autovectores, cierto?
esta bien este planteo??
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 06-02-2016 15:37 por Julieta_love.)
06-02-2016 15:37
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Julieta_love Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: ayuda dimension y multiplicidad geometrica
Hola tengo un ejercicio muy similar:

"Se sabe que una transformacion lineal T:R4->r4 tiene autovalores λ1=4, λ2=7 λ3=-3
El espacio caracteristico asociado a λ1 es de dimension 2, mientras que lso asociados a λ2 y λ3 son de dimension 1.
Justifique la existencia de la base de autovectores e indique cual puede ser una matriz asociada a la transformacion, referida a dicha base."

No entiendo bien la diferencia entre los 3 conceptos (Multiplicidad algebraica, geometrica y dimension)

Lo que tengo entendido es que la multiplicidad algebraica es el grado que tiene el polinomio, por ejemplo en el ejercicio anterior (a-λ)*(b-λ)^2, el segundo tiene multiplicidad algebraica igual a 2 porque está repetido.

Y la definicion de multiplicidad geometrica es la cantidad de vectores linealmente independientes asociado a un autovalor, y esto sería igual a la dimension, pero no entiendo bien que me quiere decir esto, osea no entiendo cual sería la diferencia entre uno y otro. (Entre multiplicidad algebraica y geometrica)


Bueno el ejercicio este se plantea de la misma manera que el anterior supongo

Quedando una matriz diagonal con los autovectores en la diagonal principal, que

4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 7 0
0 0 0 -3 <-- Que sería D, en base de autovectores

A partir de esta matriz no tengo forma de encontrar la asociada respecto a la base canonica, no?
08-02-2016 16:02
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