Como va gente? Nose si alguien se acuerda de la 2da parte de AM2. Agarre un ejercicio y nose como empezarla...
El ejercicio es el siguiente:

Ejercicio
Dada una curva plana tal que pasa por (0,0), su tangente en (0,0) es el "eje x" y satisface \[y'' = 12y + 2 - 12x^2\]
a) Hallar la ecuacion de la curva.
b) Hallar la longitud del arco de curva entre (0,0) y (1,1).

Hola fijate que tenes una ecuacion diferencial no homogenea, la podemos resolver por coeficientes indeterminados, re-escribimos la ecuacion como

\[y''-12y={\color{Red} 2-12x^2} (*)\]

a) recorda que \[y=y_h+y_p\]

Para determinar \[y_h\] la parte negra, usamos la ecuacion caracteristica

\[r^2-12=0 \Rightarrow|r|=\sqrt{12}\Rightarrow y_h=Ae^{\sqrt{12}x}+Be^{-\sqrt{12}x}\]

para determinar la parte roja \[( y_p )\]

propongo \[y_p=ax^2+bx+c\] , la derivamos dos veces y reemplazamos en (*)

de donde salvo error en cuentas

\[-12ax^2+12bx+12c+2a=-12x^2+2\]

resolviendo el sistema de ecuaciones asociado tenes que \[y_p=x^2\], luego

\[y=y_h+y_p=Ae^{\sqrt{12}x}+Be^{\sqrt{12}x}+x^2\]

para determinar las constantes A y B usa los datos que te dan

\[y(0)=0\quad y'(0)=0\]

b) recorda que por definicion

\[L=\int_C dc=\int_{a}^{b}||g'(t)|| dt\]

intenta hacerlo, sino te sale pregunta y señala puntualmente que dudas tenes

saludos