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Ayuda ejercicios de algebra
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soga89 Sin conexión
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Ing. en Sistemas
Facultad Regional Buenos Aires

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Mensaje: #1
Ayuda ejercicios de algebra
Necesito ayuda con estos ejercicios de algebra si me hacen el favor. Gracias


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14-09-2014 15:42
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Wasol Sin conexión
Profesor del Modulo A
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Ing. en Sistemas
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Mensaje: #2
RE: Ayuda ejercicios de algebra
Si no fuera tan complicado (por tiempo) usar el latex, te los explicaría. Pero para darte pie:

El primero, tenes que usar la matriz de cambio de base.
Para el segundo: A) Usar las propiedades de las matrices (ej: si la TRASPOSICIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN, ES LA MULTIPLICACIÓN DE LA TRASPOSICIÓN -esto no significa que así sea, sólo revisa el material teórico). B) En este caso tenes que hacer A.(x, y, z) = B.(x, y, z) y armar un sistema de ecuaciones y ver a partir de ahí la nulidad y rango del sistema.
Para el tercero: Es una mezcla del segundo A y B. Es básicamente usar propiedades de las matrices y sus determinantes.
Para el cuarto:

Sea S un subespacio vectorial de V, y sea T un subespacio ortogonal a S y también contenido en V. Entonces los vectores que generan S, son perpendiculares a los vectores que generan T. En consecuencia, S + T (el + en circulito, llamado SUMA DIRECTA) generan todo V.

Como ejemplo: 5x+3y-z=0 es un subespacio (un plano para ser exacto). Si despejo z en función de x e y, queda z=5x+3y, entonces la terna que genera S: (x, y, z)=(x, y, 5x+3y)=(x,0,5x)+(0,y,3y). Luego S=gen{(1,0,5);(0,1,3)}. Y para hallar T (ortogonal a S), hago simplemente:

(1,0,5).(a,b,c)=0 (dado que si es ortogonal, el producto interno debe dar 0)
(0,1,3).(a,b,c)=0

De ahí despejo:

a+5c=0 y b+3c=0; ahora despejo y me quedaría a=-5c y b=-3c
Luego la terna (a,b,c) que genera T sería (-5c,-3c,c)=c(-5,-3,1). Si te fijas, siendo c=-1 quedaría (5,3,-1) que es el vector normal al plano que había indicado.

La idea de calcular vectores ortogonales es siempre la misma. La suma directa genera V. Para que la suma sea directa, la intersección de S y T debe ser sólo el vector 0 (nulo).
15-09-2014 21:47
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