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[Ayuda] EJercico de L`hopital
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ArturoR Sin conexión
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Mensaje: #1
[Ayuda] EJercico de L`hopital Dudas y recomendaciones Análisis Matemático I
Hola que tal queria saber si me pueden ayudar con este ejercicio que me estoy rompiendo la cabeza y no me sale wall :

[Imagen: 7747b4f1fd214222d4ee811b96490ce6.png]

La respuesta es e^(1/3).
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.jpg  limite trigonometrico.jpg ( 86,42 KB / 169) por Saga
09-02-2014 16:26
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ivann20 Sin conexión
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Ing. Química
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Mensaje: #2
RE: [Ayuda] EJercico de L`hopital
Hola!

hay que aplicar la siguiente propiedad:

Lim (1 + 1/f(x))^f(x) = e
x->a

vamos a ver como podemos llevar tu función a una forma como esa.

tenemos (tan x/x)^(1/x^2)

ahora sumamos y restamos 1 dentro del primer paréntesis de la siguiente forma (esto es legal, ya que sumar y restar 1 es como sumar 0, no afecta el resultado):

(1 -1 + tan x/x)^(1/x^2)

ahora realizamos la operación -1 + (tan x)/x, esto es igual a (tan (x) - x)/x por lo tanto, la expresión es igual a:

(1 + (tan (x) - x)/x)^(1/x^2)

ahora, (tan (x) - x)/x puede escribirse como 1/[x/(tan(x) - x)], por lo tanto, la expresión es lo mismo que:

(1 + 1/[x/(tan(x) - x)])^(1/x^2)

lo siguiente es elevar toda la expresión a [x/(tan(x) - x)]/[x/(tan(x) - x)], que es lo mismo que elevar a la 1, no afecta al resultado:

[1 + 1/[x/(tan(x) - x)]]^[[x/(tan(x) - x)]/[x(x^2)/(tan(x) - x)]]

y esto es igual a:

{[1 + 1/[x/(tan(x) - x)]]^[[x/(tan(x) - x)]} ^ [(tan(x) - x)/(x^3)]

todo lo que esta entre llaves tiende a el numero de Euler, e, por la propiedad mencionada al comienzo. la potencia [(tan(x) - x)/(x^3)] produce una indeterminación cuando x tiende a 0, por lo tanto, podemos aplicar L`hopital:

lim [(tan(x) - x)/(x^3)] =
x->0

y este limite sale de aplicar L`hopital 3 veces que te lo dejo a vos porque se hace tedioso, pero el ultimo limite da 1/3, por lo tanto el limite es efectivamente, e^(1/3)

Saludos!
09-02-2014 19:06
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[-] ivann20 recibio 1 Gracias por este post
ArturoR (09-02-2014)
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Mensaje: #3
RE: [Ayuda] EJercico de L`hopital
Muchas gracias si estuve mucho tiempo haciendo lhopital pero no llegue al resultado te agradesco la respuesta.
09-02-2014 23:07
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ivann20 Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: [Ayuda] EJercico de L`hopital
Si ya se, por l'hopital se hace extenso, yo no lo hice por l'hopital, evalué el límite en el mathematica y da 1/3 así que por l'hopital se debería poder llegar perfectamente a ese resultado.
09-02-2014 23:11
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: [Ayuda] EJercico de L`hopital
   

10-02-2014 00:51
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