Hola!! Buenas tardes, mañana rindo el final de matemática discreta y estoy totalmente perdido con el tema de Grupo y subgrupos.
Tengo estos dos ejercicios, me podrian ayudar a resolver estos ejercicios. PD: Las propiedades ya las se, pero nose como aplicarlas.

Ejercicio 1:
Sea ZxZ, con la operacion binaria asociativa, * , definida por (m,n) * (r,s)=(m+(-1)^n.r , n+s)
Probar que (A,*) es grupo.
Es grupo abeliano?
el conjunto B={(0,n):n (pertence) Z} es sub grupo de (A,*)?

Ejercicio 2:
Demostrar que R^* x R junto con la operacion binaria asociativa definida por (x,y) * (x',y')=(xx',(y'/x)+x',y), es un grupo (donde (R^*, °) es el grupo de los reales positivos con el producto)

Les agradesco desde ya!!

Che, me dá que no es grupo porque no tiene NEUTRO. Debo tener algún error.

Siempre antes de empezar me pongo las propiedades (no las desarrollo porque dijiste que ya las sabés):

(1) Asociativo
(2) Tiene neutro
(3) Todos los elementos tienen simétricos.

Por consigna ya sabemos que es asociativo. No probamos (1) porque ya sabemos que lo cumple.

Probemos (2):

Si (r,s) es neutro, la operación debería no modificar la entrada. En otras palabras:

(m,n) * (r,s)=(m,n)

Probemoslo:

(m,n) * (r,s)=(m+(-1)^n.r , n+s)

Probemos lo siguiente. ¿Qué tiene que pasar para que (m+(-1)^n.r , n+s) sea (m,n)?
Lo igualamos:

(m+(-1)^n.r , n+s) = (m,n)

Por un lado:

m+(-1)^n.r = m (i)

Por otro:

n+s = n (ii)

De (ii) sale que s=0.

De (i) sale:

Absurdo:

(-1)^n.r=0 no se cumple para nungún n y ningún r.

Luego, no es grupo porque no existe neutro.

Yo las suelo aplicar así las propiedades.
Ojalá te sirva.
De todas formas yo esperaría otra respuesta, ya que me dió que no es grupo, y leyendo la consigna (b), está asumiendo que es grupo porque me pide mostrar un subgrupo.
Debo estar teniendo un error, pero creo que podés llegar a usar esto para guiarte un poco con otros ejercicios.

Hola, haciendo los mismos pasos que pampa833 llegué al neutro, el problema (creo) es que no revisaste si (m,n) era el neutro, sino que solo revisaste (r,s):

   

Ah, para que sea grupo cada elemento tiene que tener simétrico, o sea al operar el elemento con su simétrico tiene que resultar el elemento neutro, que sacamos antes. Yo lo hice así:

   

EDIT: es importante la restricción de la potencia porque sino deja del ser del conjunto de los Enteros y no se cumple la L.C.I.

(15-12-2015 11:45)Cuyé escribió:  Hola, haciendo los mismos pasos que pampa833 llegué al neutro, el problema (creo) es que no revisaste si (m,n) era el neutro, sino que solo revisaste (r,s):

Excelente!! Muchas gracias por tu respuesta.

La pregunta es, ¿El neutro no debería ser por definición aquel e tal que a*e=a? Es decir, no debería ser el e tal que e*a=a, porque ahí estaría asumiendo conmutatividad en donde no estoy seguro que hay. ¿Me explico?

Es decir, el neutro yo siempre lo busco haciendo a*e=a y no como e*a=a, porque no necesariamente es lo mismo a*e y e*a.

¿En que le puedo estar pifiando?

Está mal copiado o está mal el ejercicio, porque tenés de dato que es asociativa pero si lo verificás, llegás a que no es, y tendría que serlo.

\[[(m;n)*(r;s)]*(t;u)=(m;n)*[(r;s)*(t;u)]\]

Trabajando con el miembro de la primera igualdad:

\[=( m + (-1)^{n.r} ; n + s ) * ( t ; u ) \]
\[=( m + (-1)^{n.r} + (-1)^{(n+s).t} ; n + s + u ) \]

Y ahora con la segunda igualdad:
\[=(m;n) * ( r + (-1)^{s.t} ; s + u )\]
\[=( m + (-1)^{n[r + (-1)^{s.t}]} ; n + s + u )\]

Como no son iguales no se cumple la asociatividad.

Por definición el elemento neutro es \[a*e=e*a=a\] que quiere decir que tiene que serlo por izquierda como por derecha. Pero para no hacer los dos podés demostrar primero la conmutatividad, si no es conmutativo no te queda más que hacer los dos, pero vas a saber que no es grupo abeliano. (Los inversos también se demuestran a izq. y der.) a*a'=a'*a=e

Para saber si \[B\subset A, \space B\neq \varnothing \] es subgrupo de (A;*), tenés que demostrar que (B;*) es grupo. O podés usar la condición suficiente de existencia de subgrupos:
\[a\in B \wedge b\in B \Rightarrow a*b'\in B\]

b' es el inverso de b

Y el último ejercicio me parece que no es ley interna, porque si lo que operás es \[\mathbb{R}^2x \mathbb{R}^2\] tiene que darte algo de \[\mathbb{R}^2\]. Supongo que es como con los vectores cuando hacés el producto escalar que no es ley interna, porque es de \[\mathbb{R}^2x \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\]

Si les parece que algo de lo que puse no está bien, avísenme.

(15-12-2015 13:14)Cuyé escribió:  Ah, para que sea grupo cada elemento tiene que tener simétrico, o sea al operar el elemento con su simétrico tiene que resultar el elemento neutro, que sacamos antes. Yo lo hice así:



EDIT: es importante la restricción de la potencia porque sino deja del ser del conjunto de los Enteros y no se cumple la L.C.I.

El 1 y el -1 son los únicos elementos inversibles en Z, así que (-1)^n, (con n perteneciente a Z), pertenece a Z, porque si n es par te queda 1 y si es impar te queda -1.

El inverso multiplicativo de 1 es 1:

 

1.a = 1  uno por un número Z que dé el neutro del producto

a = 1     por ser 1 el elemento neutro del producto en Z

Y como el producto en Z es conmutativo no hace falta hacerlo por izquierda.

El inverso multiplicativo de -1 es -1:

 

(-1).a = 1

[(-1).(-1)].a = (-1).1         por a = b => a.c = b.c, conmutatividad y asociatividad del producto en Z 

(1.1).a = -1                      por (-a).(-b) = a.b y por ser 1 el elemento neutro del producto en Z

1.a = -1                           por ser 1 el elemento neutro del producto en Z

a = -1                              por ser 1 el elemento neutro del producto en Z

Como el prod. es conmut. en Z...

En los dos casos el inverso pertenece a Z, por lo tanto el 1 y -1 son inversibles en Z.

Otra cosa que vi es que la restricción que hiciste si querías que quede un Z mayor o igual que 1, cuando hacés en (n-s).r que
n>s => n-s>0 por lo que no hace falta n>0 y te faltó restringir r porque también puede tomar valores negativos o cero.
Por lo tanto si querías (n-s).r > 0 => (n - s > 0 y r > 0) ó (n - s < 0 y r < 0) que quiere decir que si los dos son números positivos cuando los multipliques te va a dar un número positivo y si los dos son negativos cuando los multipliques te da un número positivo.