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[Consulta ejercicio] AM - Composición funciones/Biyectiva
Autor Mensaje
Modorco Sin conexión
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Titaneando.
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Ing. Electrónica
Facultad Regional Avellaneda

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Mensaje: #1
[Consulta ejercicio] AM - Composición funciones/Biyectiva Ejercicios Análisis Matemático I
Buenas gente, qué tal?
Tenía unas dudas sobre dos ejercicios de AM (sé que son muy básicos).

En uno me dan y me piden plantear los conjuntos A y B tal que h(X) resulte biyectiva. Biyectiva sería cuando a cada elemento le corresponde una única imagen, no? Si mal no recuerdo las funciones de este tipo (como h) siempre son biyectivas, pero cómo debiera plantearlo? Escribir el dominio/imagen y listo?

En el otro que es sobre composición, me piden determinar g o f(x) si y

Gracias de antemano!
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 20-08-2015 06:04 por Modorco.)
20-08-2015 06:02
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sribot Sin conexión
Empleado de Fotocopiadora
Sin estado :(
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Ing. Electrónica
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Mensaje: #2
RE: [Consulta ejercicio] AM - Composición funciones/Biyectiva
Buenas!

Para que una funcion resulte biyectiva lo que tiene que ocurrir es que sea inyectiva (Cada punto del dominio tiene su imagen) y sobreyectiva (el codominio es igual a la imagen) a la vez... Para que sea inyectiva tenes que tener cuidado de no poner numeros en el dominio cuya imagen no existe (En este caso cuando x=1, denominador=0, no existe) y para que sea sobreyectiva tenes que hacer que el conjunto B (Codominio) sea igual a la imagen... Ojo! No toda funcion resulta siempre biyectiva ya que esto depende del dominio y codominio que le pongas...

En cuanto a la composicion de funciones, si bien no me acuerdo cuales eran los requisitos para componer te quedaria
G o f(x)=Raiz(x-1)
20-08-2015 12:09
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[-] sribot recibio 1 Gracias por este post
Modorco (20-08-2015)
Matias. Sin conexión
Campeon del cubo Rubik
Que tema ser ingeniero
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Ing. Industrial
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Mensaje: #3
RE: [Consulta ejercicio] AM - Composición funciones/Biyectiva
Para la composición deberías restringir la imagen de f(x) porque g(x) solo acepta como dominio [2,+INF), osea, no me acuerdo muy bien si tenes que restringir la imagen de f(x) diciendo que va de R a [2,+INF) o si tenes que hacerlo en el dominio también que sería [1,+INF) para que la imagen sea la que queramos.

No se si me expliqué bien
20-08-2015 19:39
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Modorco (23-08-2015)
The Darkness Sin conexión
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Ing. en Sistemas
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Mensaje: #4
RE: [Consulta ejercicio] AM - Composición funciones/Biyectiva
Buenas!
Como dijeron arriba, para que una funcion sea biyectiva debe ser inyectiva y sobreyectiva a la vez. Las definiciones serian las siguientes:
Inyectiva: A cada valor del dominio le corresponde un unico valor del co-dominio (hasta ahi es la definicion de funcion) y ese valor del co-dominio (al que ya le podriamos llamar Imagen) le corresponde solo a ese valor del dominio. O sea, si en el dominio estan los hombres y en la imagen las mujeres (considerando a todos heteros =P ) cada hombre tendria una mujer, y no habria infidelidad por parte de ellas.

Sobreyectiva: Cada elemento del co-dominio es imagen de un elemento del dominio. Seria como la definicion de funcion, pero del Co-dominio al dominio. En el ejemplo anterior correspoderia a que todas las mujeres tienen pareja tambien. (el ejemplo anterior no decia nada de eso, solo aseguraba las parejas de los hombres, pero podian quedar mujeres "colgadas")

O sea en resumen. Funcion biyectiva? Cada hombre (dominio) tiene su mujer (imagen) y no hay nadie solo, ni cornudo.

En la funcion que mencionas, que es una funcion homográfica (un cociente entre 2 funciones lineales no proporcionales), siempre, para que sea biyectiva, el dominio son todos los reales menos un numero, y la imagen tambien. Ojo, no es para que lo hagas mecanico, solo que si miras el grafico tienen una asintota vertical y una horizontal (Siempre son asi) Por lo tanto, en el dominio tenes que excluir el valor que no tiene imagen, o sea, el que anula el denominador. Y del codominio tenes que excluir el valor que no es imagen de nadie (la asintota horizontal), que se calcula obteniendo el limite cuando x tiende a infinito (que en este caso, mas facil, es el cociente entre los coeficientes principales de los polinomios).

En tu ejercicio, el dominio serian todos los reales, excepto el 1, y la imagen serian todos los reales, excepto el -2. Solo en esas condiciones se da la biyectividad.

En el otro ejercicio, siempre que tengas una composicion de funciones lo podes pensar asi.

F o G (x) = F (G(x))

Si, "Efe de Ge de x", suena exraño pero es sencillo.
Si F(x)= x + 1

F(G(x)) = G(x) +1

Ves? lo unico que cambio es que, en vez de escribir "x" escribo "G(x)", y como conozco a G(x) lo reemplazo y me queda:

F o G (x) = F (G (x)) = (raiz(x-2)) +1

Espero te sirva. Saludos.
21-08-2015 03:16
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[-] The Darkness recibio 1 Gracias por este post
Modorco (23-08-2015)
LautaroCutri Sin conexión
Campeon del cubo Rubik
Re Bien!!
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Ing. en Sistemas
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Mensaje: #5
RE: [Consulta ejercicio] AM - Composición funciones/Biyectiva
Biyectiva es que cuando escribis la funcion pones que va del dominio D a la imagen en vez de al codominio, ademas tiene que ser inyectiva, h es una homografica asi que es inyectiva

[Imagen: Wn6vpAn.png]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 21-08-2015 16:03 por LautaroCutri.)
21-08-2015 16:01
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Modorco (23-08-2015)
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