Analice en cada caso si W es un subespacio de V . Justifique su respuesta.

a)v= R^4 , W {X PERTENECIENTE R^4 / X1+X2-X4=0}



B)V=R^N , W ={X PERTENECIENTE R^N /X1=XN}


Nota es x1 y x2 ( No estan elevados) . Solo estan elevado los R

Inciso a.

Dicho de otro modo, podríamos escribir al subespacio \[W\] en función de sus bases:

\[X_1+X_2-X_4=0 \to X_4=X_1+X_2\]

Por ende: \[W = \begin{Bmatrix}X_1 \; , & X_2 \; , & X_3 \; , & X_4 \end{Bmatrix}\]

\[W = \begin{Bmatrix}X_1 \; , & X_2 \; , & X_3 \; , & X_1+X_2 \end{Bmatrix}\]

Ahora lo expresamos a partir de sus bases:

\[W = \begin{Bmatrix} (1 \; , & 0 \; , & 0 \; , & 1) \; ; \; (0 \; , & 1 \; , & 0 \; , & 1) \; ; \; (0 \; , & 0 \; , & 1 \; , & 0) \end{Bmatrix}\]

\[V = \begin{Bmatrix} (0 \; , & 0 \; , & 0 \; , & 1) \; ; \; (0 \; , & 0 \; , & 1 \; , & 0) \\ (0 \; , & 1 \; , & 0 \; , & 0) \; ; \; (1 \; , & 0 \; , & 0 \; , & 0) \end{Bmatrix}\]

\[W\] es subespacio de \[V\] porque comparten al menos una base.



Inciso b.

\[W = \begin{Bmatrix}X_1 \; , & X_1 \; , & ... \; , & X_1 \end{Bmatrix}\]

\[W = \begin{Bmatrix}(1 \; , & 1 \; , & ... \; , & 1) \end{Bmatrix}\]

\[V = \begin{Bmatrix}(1 \; , & 0 \; , & ... \; , & 0) \; ; \; (0 \; , & 1 \; , & ... \; , & 0) \; ; \; ... \; ; \; (0 \; , & 0 \; , & ... \; , & 1)\end{Bmatrix}\]

\[W\] no es subespacio de \[V\].