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Consulta - teoria de numeros. Discreta
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Mensaje: #1
Consulta - teoria de numeros. Discreta Dudas y recomendaciones Matemática Discreta
Hola gente, les tengo una consulta. Alguno sabe resolver esto:

¿cuales son las 3 ultimas cifras de 7^9999? Justifique.

Si me pudieran dar un mano, se los agradeceria.
29-01-2018 15:53
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manoooooh Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Consulta - teoria de numeros. Discreta
Hola

(29-01-2018 15:53)Nahufender escribió:  Hola gente, les tengo una consulta. Alguno sabe resolver esto:

¿cuales son las 3 ultimas cifras de 7^9999? Justifique.

Si me pudieran dar un mano, se los agradeceria.

Para conocer las cifras vamos a echar mano de aritmética modular. Lo que nos piden es hallar 7^(9999) (mod 1000).

Como 1000 = 2^3 · 5^3 entonces φ(1000) = 1000 · (1 - 1/2) · (1 - 1/5) = 400, y por el teorema de Euler-Fermat sabemos que 7^(φ(1000)) ≡ 1 (1000) => 7^(400) ≡ 1 (1000), y esto equivale a decir que

7^(9999) = (7^(400))^(24) · 7^(399) ≡ 1^(24) · 7^(399) = 7^(399) (mod 1000).

Por tanto, sólo tenemos que hallar esto último. Para ello, podemos expresar 399 como suma de potencias de 2:

399 = 256 + 128 + 8 + 4 + 2 + 1,

y hallamos estas potencias de siete módulo 1000 por sucesivas elevaciones al cuadrado:

7 ≡ 7 (1000)
7^(2) ≡ 49 (1000)
7^(4) ≡ 49^(2) = 2401 ≡ 401 (1000)
7^(8) ≡ 401^(2) = 160801 ≡ 801 (1000)
7^(16) ≡ 801^(2) = 641601 ≡ 601 (1000)
7^(32) ≡ 601^(2) = 361201 ≡ 201 (1000)
7^(64) ≡ 201^(2) = 40401 ≡ 401 (1000)
7^(128) ≡ 401^(2) ≡ 801 (1000)
7^(256) ≡ 801^(2) ≡ 601 (1000)

Entonces

7^(399) = 7^(256) · 7^(128) · 7^(8) · 7^(4) · 7^(1) ≡ 601 · 801 · 801 · 401 · 49 · 7 ≡ 143 (1000).

Si no llegás a entender avisame que lo escribo en otro formato.

Saludos
29-01-2018 19:13
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Nahufender (29-01-2018)
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Mensaje: #3
RE: Consulta - teoria de numeros. Discreta
(29-01-2018 19:13)manoooooh escribió:  Hola

(29-01-2018 15:53)Nahufender escribió:  Hola gente, les tengo una consulta. Alguno sabe resolver esto:

¿cuales son las 3 ultimas cifras de 7^9999? Justifique.

Si me pudieran dar un mano, se los agradeceria.

Para conocer las cifras vamos a echar mano de aritmética modular. Lo que nos piden es hallar 7^(9999) (mod 1000).

Como 1000 = 2^3 · 5^3 entonces φ(1000) = 1000 · (1 - 1/2) · (1 - 1/5) = 400, y por el teorema de Euler-Fermat sabemos que 7^(φ(1000)) ≡ 1 (1000) => 7^(400) ≡ 1 (1000), y esto equivale a decir que

7^(9999) = (7^(400))^(24) · 7^(399) ≡ 1^(24) · 7^(399) = 7^(399) (mod 1000).

Por tanto, sólo tenemos que hallar esto último. Para ello, podemos expresar 399 como suma de potencias de 2:

399 = 256 + 128 + 8 + 4 + 2 + 1,

y hallamos estas potencias de siete módulo 1000 por sucesivas elevaciones al cuadrado:

7 ≡ 7 (1000)
7^(2) ≡ 49 (1000)
7^(4) ≡ 49^(2) = 2401 ≡ 401 (1000)
7^(8) ≡ 401^(2) = 160801 ≡ 801 (1000)
7^(16) ≡ 801^(2) = 641601 ≡ 601 (1000)
7^(32) ≡ 601^(2) = 361201 ≡ 201 (1000)
7^(64) ≡ 201^(2) = 40401 ≡ 401 (1000)
7^(128) ≡ 401^(2) ≡ 801 (1000)
7^(256) ≡ 801^(2) ≡ 601 (1000)

Entonces

7^(399) = 7^(256) · 7^(128) · 7^(8) · 7^(4) · 7^(1) ≡ 601 · 801 · 801 · 401 · 49 · 7 ≡ 143 (1000).

Si no llegás a entender avisame que lo escribo en otro formato.

Saludos

Na tremendo laburo te mandaste, mil gracias. una consulta tengo igual, porque sabes que nos piden hallar esto Lo que nos piden es hallar 7^(9999) (mod 1000)? osea el MOD 1000 es mi duda.
29-01-2018 21:54
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Mensaje: #4
RE: Consulta - teoria de numeros. Discreta
Hola,

(29-01-2018 21:54)Nahufender escribió:  
(29-01-2018 19:13)manoooooh escribió:  Hola

(29-01-2018 15:53)Nahufender escribió:  Hola gente, les tengo una consulta. Alguno sabe resolver esto:

¿cuales son las 3 ultimas cifras de 7^9999? Justifique.

Si me pudieran dar un mano, se los agradeceria.

Para conocer las cifras vamos a echar mano de aritmética modular. Lo que nos piden es hallar 7^(9999) (mod 1000).

Como 1000 = 2^3 · 5^3 entonces φ(1000) = 1000 · (1 - 1/2) · (1 - 1/5) = 400, y por el teorema de Euler-Fermat sabemos que 7^(φ(1000)) ≡ 1 (1000) => 7^(400) ≡ 1 (1000), y esto equivale a decir que

7^(9999) = (7^(400))^(24) · 7^(399) ≡ 1^(24) · 7^(399) = 7^(399) (mod 1000).

Por tanto, sólo tenemos que hallar esto último. Para ello, podemos expresar 399 como suma de potencias de 2:

399 = 256 + 128 + 8 + 4 + 2 + 1,

y hallamos estas potencias de siete módulo 1000 por sucesivas elevaciones al cuadrado:

7 ≡ 7 (1000)
7^(2) ≡ 49 (1000)
7^(4) ≡ 49^(2) = 2401 ≡ 401 (1000)
7^(8) ≡ 401^(2) = 160801 ≡ 801 (1000)
7^(16) ≡ 801^(2) = 641601 ≡ 601 (1000)
7^(32) ≡ 601^(2) = 361201 ≡ 201 (1000)
7^(64) ≡ 201^(2) = 40401 ≡ 401 (1000)
7^(128) ≡ 401^(2) ≡ 801 (1000)
7^(256) ≡ 801^(2) ≡ 601 (1000)

Entonces

7^(399) = 7^(256) · 7^(128) · 7^(8) · 7^(4) · 7^(1) ≡ 601 · 801 · 801 · 401 · 49 · 7 ≡ 143 (1000).

Si no llegás a entender avisame que lo escribo en otro formato.

Saludos

Na tremendo laburo te mandaste, mil gracias. una consulta tengo igual, porque sabes que nos piden hallar esto Lo que nos piden es hallar 7^(9999) (mod 1000)? osea el MOD 1000 es mi duda.

Porque representa la cantidad de cifras que queremos saber. Un ejemplo más sencillo sería hallar la última cifra de 27. Entonces 27 ≡ 7 (10), donde el módulo es 10 porque hay que calcular una cifra y el resto de dividir 27 entre 10 es 7. Por lo tanto la ultima cifra es 7.

Saludos
29-01-2018 22:39
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Mensaje: #5
RE: Consulta - teoria de numeros. Discreta
(29-01-2018 22:39)manoooooh escribió:  Hola,

(29-01-2018 21:54)Nahufender escribió:  
(29-01-2018 19:13)manoooooh escribió:  Hola

(29-01-2018 15:53)Nahufender escribió:  Hola gente, les tengo una consulta. Alguno sabe resolver esto:

¿cuales son las 3 ultimas cifras de 7^9999? Justifique.

Si me pudieran dar un mano, se los agradeceria.

Para conocer las cifras vamos a echar mano de aritmética modular. Lo que nos piden es hallar 7^(9999) (mod 1000).

Como 1000 = 2^3 · 5^3 entonces φ(1000) = 1000 · (1 - 1/2) · (1 - 1/5) = 400, y por el teorema de Euler-Fermat sabemos que 7^(φ(1000)) ≡ 1 (1000) => 7^(400) ≡ 1 (1000), y esto equivale a decir que

7^(9999) = (7^(400))^(24) · 7^(399) ≡ 1^(24) · 7^(399) = 7^(399) (mod 1000).

Por tanto, sólo tenemos que hallar esto último. Para ello, podemos expresar 399 como suma de potencias de 2:

399 = 256 + 128 + 8 + 4 + 2 + 1,

y hallamos estas potencias de siete módulo 1000 por sucesivas elevaciones al cuadrado:

7 ≡ 7 (1000)
7^(2) ≡ 49 (1000)
7^(4) ≡ 49^(2) = 2401 ≡ 401 (1000)
7^(8) ≡ 401^(2) = 160801 ≡ 801 (1000)
7^(16) ≡ 801^(2) = 641601 ≡ 601 (1000)
7^(32) ≡ 601^(2) = 361201 ≡ 201 (1000)
7^(64) ≡ 201^(2) = 40401 ≡ 401 (1000)
7^(128) ≡ 401^(2) ≡ 801 (1000)
7^(256) ≡ 801^(2) ≡ 601 (1000)

Entonces

7^(399) = 7^(256) · 7^(128) · 7^(8) · 7^(4) · 7^(1) ≡ 601 · 801 · 801 · 401 · 49 · 7 ≡ 143 (1000).

Si no llegás a entender avisame que lo escribo en otro formato.

Saludos

Na tremendo laburo te mandaste, mil gracias. una consulta tengo igual, porque sabes que nos piden hallar esto Lo que nos piden es hallar 7^(9999) (mod 1000)? osea el MOD 1000 es mi duda.

Porque representa la cantidad de cifras que queremos saber. Un ejemplo más sencillo sería hallar la última cifra de 27. Entonces 27 ≡ 7 (10), donde el módulo es 10 porque hay que calcular una cifra y el resto de dividir 27 entre 10 es 7. Por lo tanto la ultima cifra es 7.

Saludos

Supuse que podía llegar a ser eso! Mil gracias por responder!
29-01-2018 23:02
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