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Cuando una relacion es funcion?
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SkyMonkey Sin conexión
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Mensaje: #1
Exclamation Cuando una relacion es funcion? Dudas y recomendaciones Matemática Discreta
Hola. Hace poco me corrigieron este ejercicio como mal :

"Determinar si la siguiente relación es función (justificar) y en casa de ser función graficarla"
R C (incluido) RXR sii Y=X^2-2


Gráfico de y=((x^2)-2).
Gráfico
Gráfico


Lo que sucede es como ya era tarde no vi "exactamente" que era lo que me puso como "mal" pero me pareció ver, casi seguro, en lo que escribí que me puso que NO es una función, pero no estoy seguro, hablándolo con un amigo hoy me dice que probablemente lo que haya hecho mal yo fue la demostración ya que el ejercicio pide "demostrar" y luego si es función graficar y yo hice lo opuesto.

Repitiendo las definiciones de existencia y unicidad (las dos definiciones para que cualquier relación sea una función)
Existencia : Para todo x E A, Existe un y E B : (x,y) E F
Unicidad : (x,y) ^ (x,z) E a F => y = z

Resumiendo se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento del conjunto A se lo relaciona con UNO Y SOLO UN elemento del conjunto B

Yo primero hice la grafica y llegue a que a cada elemento de A (en este caso abcisas) le corresponde un unico elemento en B (ordenadas). Si mi x=2 -> y=2 y tambien si mi x=-2 -> y=2 pero 2 es distinto de -2 se cumple la existencia y unicidad!! No tengo un x=2 que le corresponde dos imagenes distintas en Y... En que estoy fallando? en que no estoy entendiendo? para mi esta relacion es una funcion!!

Si llega a ser como dice mi amigo que primero tuve que haber demostrado y despues graficar..como demuestro? la existencia y unicidad en esta relación??? Con inducción completa?

Gracias.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-06-2013 10:42 por SkyMonkey.)
28-06-2013 10:22
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Nicco Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Cuando una relacion es funcion
El enunciado pide justificar si es función o no , yo creo q si pones xq cumple con existencia y unicidad alcanzaria =P , pero creo q demostrando es algo asi:

f: A->B , donde A y B pertencen a los R
En donde cada x tiene su imágen, ya que estamos hablando de RxR



Y ademas la imágen es única ya que:





28-06-2013 10:52
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rod77 Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Cuando una relacion es funcion?
El tema es que tenes que Demostrarlo analíticamente
28-06-2013 10:53
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SkyMonkey Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: Cuando una relacion es funcion?
Claro supongo que es eso lo que tengo "mal" pero les juro así rápido cuando lo vi me pareció que me puso "NO ES FUNCION", me fui y en bondi me quede pensando .."como que no es función ?? no entendía..."!! Calculo que habré visto mal y lo que estuvo mal fue que no demostré la existencia y unicidad.

"Nicco" no entiendo bien tu demostración no habrás querido poner en una en una x sub cero y en la otra x sub 1?
28-06-2013 11:06
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Nicco Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: Cuando una relacion es funcion?
(28-06-2013 11:06)SkyMonkey escribió:  "Nicco" no entiendo bien tu demostración no habrás querido poner en una en una x sub cero y en la otra x sub 1?

Nono, porque viene de acá eso:



"Los elementos de A tienen una sola imagen en B"



Mirá un ejemplo donde no cumpliría :

|y| = x+2







Pero eso es falso, porque ponele que x= 2



(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-06-2013 11:26 por Nicco.)
28-06-2013 11:17
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rod77 Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: Cuando una relacion es funcion?
(28-06-2013 11:06)SkyMonkey escribió:  "Nicco" no entiendo bien tu demostración no habrás querido poner en una en una x sub cero y en la otra x sub 1?

Dice que las Y0 es igual a Y1, para la misma X0
28-06-2013 11:25
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Imakuni Sin conexión
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Mensaje: #7
RE: Cuando una relacion es funcion?
Para existencia, podes decir que la ecuación x^2 -2 es polinomica, y por definicion es continua en todo su dominio De esa forma mostras la existencia.

También podés decir que la potencia de un real al cuadrado es una operacion cerrada en los reales, al igual que la resta de dos reales es cerrada en los reales, y ahi usas temas de discreta para defenderlo =P. Si decis eso, este punto ya está, no te lo pueden bochar =P.

Peeero, si no le gusta eso, se me ocurre el siguiente chamuyo demostrando por el absurdo. Esto es, plantear lo opuesto a lo que queres demostrar, y demostrar que eso no puede ser asi =P.
entonces, sea:
f -> RxR : Y=X^2-2

def de existencia: Para todo x ∈ A, ∃ y ∈ B : (x,y) ∈ F

Supongamos lo contrario para romper la regla, o sea, supongamos que existe un "x" que rompa esto.

∃ x ∈ A, ∃ y ∈ B : (x,y) ∉ F

A = reales, (1)
B = reales (2)
F = RxR (3)

Al hablar de RxR, estas haciendo el producto cartesiano entre R y R.
Y sabemos que A = R por (1) y B = R por (2).
Entonces RxR = AxB
Luego, F = AxB

Entonces nos queda que:

∃ x ∈ R, ∃ y ∈ R : (x,y) ∉ RxR

Pero como por definicion, x ∈ R e y ∈ R, entonces (x,y) ∈ RxR , llevandonos a un absurdo al decir que (x,y) ∉ RxR

Luego, "f" presenta la propiedad de existencia.

Unicidad, podes demostrarla como te dijo nicco, si no, tenes "otra forma": Demostar por el absurdo. O sea, asumir que "y" es distinto de "z", y despues hacer acrobacias algebraicas para llegar a que "y = z".

Definicion de unicidad Unicidad : (x,y) ^ (x,z) E a F => y = z

Supongamos que existe un "y", y un z, tal que:
(x,y) ^ (x,z) E a F => y != z

entonces, tenemos que:

(x,y)
x^2-2 = y (1)

(x,z)
x^2-2 = z (2)

Ya que "x^2-2 = y", entonces podemos reemplazar en cualquier ecuacion ""x^2-2" por "y".
Entonces, vamos a reemplazar la segunda parte de la igualdad de (1) (que es "y") en la primer parte de la igualdad de (2) (que es x^2-2), y nos queda:

y = z

lo cual es un absurdo, ya que por la definicion que dimos, y != z
luego, y = z, y por lo tanto, se cumple la unicidad.


Siempre que tengas que demostrar si una cosa presenta unicidad, probá copiando la funcion para "y" y para "z". Luego, buscá la forma de "reemplazar" un valor en la otra ecuación, y que despejando te termine quedando y = z.
28-06-2013 11:44
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Mensaje: #8
RE: Cuando una relacion es funcion?
Si calculo que lo que tengo mal fue eso mi justificación. Pero todos convenimos que esta relación es una función!!

Si viendo lo que me decís "gnutn" si lo demuestro por algún método indirecto ya sea por absurdo o reciproco..!! Pero..no quiero "escrachar" al ayudante pero te juro que me pareció ver que me corrigió "NO ES FUNCIÓN" osea que no me corrigió mi justificación incompleta....simplemente me corrigio que dicha relación no era una función...!!, no se.. era de noche, estaba cansado me quería ir...peroo me pareció ver eso!!

También se puede demostrar por inducción completa, en el libro de peralata me parece que demuestra por inducción completa (n=1, n=m y n=m+1) una propiedad de las relaciones, no estoy seguro por ahí estoy tirando fruta...despues en casa la hago a ver que onda!! ;)

Gracias a todos.!!
28-06-2013 12:19
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Mensaje: #9
RE: Cuando una relacion es funcion?
En discreta no se como te piden que demostres que eso sea una funcion, matematicamente como esta definida no lo es..... todo lo que digo lo digo desde el punto de vista matematico, para que exista la funcion como tal, debe ser inyectiva y sobreyectiva, lo que implica que f es biyectiva.... en tu caso al no tener el dominio restringido claramente no se cumple la inyectividad... para la inyectividad bastaria con probar



para la sobreyectidad hay que probar que el codominio de f=Imf

pero bueno no se como lo quieren en discreta, como dije antes no se cumple la inyectividad

[Imagen: 165261.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-06-2013 12:53 por Saga.)
28-06-2013 12:42
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Desert69 Sin conexión
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Mensaje: #10
RE: Cuando una relacion es funcion?
Saga, no es necesario que sean inyectivas y sobreyectivas para ser funciones.

X^2 es una función, y no es ni una ni otra cosa cuando está definida en R->R.


Función es una relación que cumple con existencia y unicidad. La mano va por donde dice Ima, pero en Discreta no sirve decir "es polinómica, así que es continua para todo su dominio". Hay que jugar con esas propiedades para demostrarlo.

[Imagen: a2.php]
[Imagen: 971aa6599664453c05cb3e42d58bbc0eo.jpg]
28-06-2013 12:55
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Mensaje: #11
RE: Cuando una relacion es funcion?
Justamente desert... aclare que todo lo que dije lo veo desde el punto de vista matematico... no se a que llaman funcion en discreta, por empezar no se cumple la sobreyectividad en esa "funcion" ya que que como esta definida es sencillo observar que para y=0 existen dos valores de x... por lo tanto no se cumple la sobreyectividad.... ahora aclaro otra vez, NO SE a que le llaman función en discreta....CREO yo que seria lo mismo, CREO, ademas SkyMonkey dice que le dijeron que esa relacion no era funcion, asi que debe estar relacionado de alguna manera

[Imagen: 165261.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-06-2013 13:16 por Saga.)
28-06-2013 13:15
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Mensaje: #12
RE: Cuando una relacion es funcion?
Cita:a mano va por donde dice Ima, pero en Discreta no sirve decir "es polinómica, así que es continua para todo su dominio"

Abajo tiré fruta magica que tal vez sirve... de todas formas, en discreta decir que la potencia y la resta son cerradas, es algo que puede servir =P. Al menos cuando la cursé, peralta me aprobó con eso!

Cita:También se puede demostrar por inducción completa, en el libro de peralata me parece que demuestra por inducción completa (n=1, n=m y n=m+1) una propiedad de las relaciones, no estoy seguro por ahí estoy tirando fruta...despues en casa la hago a ver que onda!!

Creería que no, o al menos no de la manera en la que nos enseñan =P... principalmente porque en la inducción haces saltos discretos (por ej, n, n+1, n+2, etc), y acá querés probar una ecuación que usa reales (y tendría que ser n, n + 0.1, n + 0.001, n+ .... y asi al infinito =P). Igual si te dicen como se resuelve comentanos!

Cita:En discreta no se como te piden que demostres que eso sea una funcion, matematicamente como esta definida no lo es..... todo lo que digo lo digo desde el punto de vista matematico, para que exista la funcion como tal, debe ser inyectiva y sobreyectiva, lo que implica que f es biyectiva.... en tu caso al no tener el dominio restringido claramente no se cumple la inyectividad... para la inyectividad bastaria con probar

Es que acá no menciona nunca el codominio. Y estas mencionando la propiedad de biyectividad, que puede ser una propiedad de una funcion (como lo es la propiedad de ser par o impar).

Creo que la biyectividad se usaba para poder demostrar que existe funcion inversa sin acotar el dominio de la funcion.

Creo que si fuese asi, si para que exista la funcion como tal, la misma debería ser sobreyectiva, entonces la funcion constante no sería funcion, por ejemplo :
f: R -> {3} / y = 3
No sería una funcion, ya que no es sobreyectiva
En este caso, existen al menos dos elementos del dominio con la misma imagen. Si x=0, entonces y=3, y si x=999, y =3, y esto rompe con la definicion de inyectividad.

Pero lo que sí posee es unicidad (para todo elemento de x, existe solo un y) y existencia (para todo elemento de x, existe un y), por lo tanto la relacion... "f", si es una funcion, pero no es sobreyectiva.

Igual ojo, puede ser que esté mandando mucha fruta.... hace mil que no toco nada de esto =P
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-06-2013 13:32 por Imakuni.)
28-06-2013 13:28
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RE: Cuando una relacion es funcion?
(28-06-2013 13:28)Imakuni escribió:  Pero lo que sí posee es unicidad (para todo elemento de x, existe solo un y) y existencia (para todo elemento de x, existe un y), por lo tanto la relacion... "f", si es una funcion,

yo tengo un ejercicio parecido pero visto en am1, nos dan la función lo que tengo en el apunte es

f es función si y solo si se prueba su existencia y unicidad (imagen debe ser única)

y pone el contraejemplo



no existe imagen unica, ya que para dos valores distintos de x la función toma una misma imagen, y por definición de unicidad la función propuesta no lo es

[Imagen: 165261.gif]
28-06-2013 14:42
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Maik Sin conexión
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Mensaje: #14
RE: Cuando una relacion es funcion?
me pregunto por que tanto quilombo.

hay que demostrar:
Una función, por definición, hace corresponder a cada elemento del dominio uno (existencia) y solo un elemento (unicidad) del codominio. Si no cumple con la unicidad no es función.

lo que dijo arriba saga

f(a) = f(b) -> entonces a=b.

MODS
[Imagen: 2r5t075.jpg]
28-06-2013 14:48
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Mensaje: #15
RE: Cuando una relacion es funcion?
No creo que estes mandando fruta "gnutn" estoy de acuerdo con vos...pero Bueno yo no se veo el ejercicio, con los temas que se ven en la materia, se explica en el libro de peralta "TODA RELACION QUE CUMPLE CON UNICIDAD Y EXISTENCIA ES FUNCION" (toda funcion es una relacion PERO NO toda relacion es una funcion) bueno leo el ejercicio y lo resuelvo siguiendo las definiciones de existencias y unicidad, es mas, mas allá del alcance de "m.discreta" creo que también aplica para la matematica general (secundario) que para que una relación sea función debe cumplir existencia y unicidad (almenos asi lo veia en el colegio) después uno tenia las clasificaciones de las funciones (inyectiva-sobreyectiva) osea en matematica discreta, analisis matematico me parece que una fucion es tal cuando cumple (existencia y unicidad).

Lo que estoy CASI SEGURO QUE ME CORRIGIERON NO SI DEMOSTRE EXISTENCIA, UNICIDAD, INYECTIVIDAD, ETC....SINO QUE SIMPLEMENTE ME PUSO "NO ES FUNCION PIBE" ME ENTIENDEN..ME DECIA A MI MISMO..."NO ENTENDI NADA DE LA VIDA...ME CAMBIO DE CARRERA..VOY A ESTUDIAR CORTE Y CONFECCION" Confused

Hoy veo a un profesor y le llevo el ejercicio PARA MI ESTA RELACION ES UNA FUNCION!! SI ME EQUIVOQUE VAN A SER LOS PRIMEROS EN ENTERARSE Y ME CAMBIO A "CORTE Y CONFECCION" ;)
28-06-2013 15:20
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