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[DISCRETA] Inducción Completa
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federicog Sin conexión
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Mensaje: #1
[DISCRETA] Inducción Completa Ejercicios Matemática Discreta
Tengo un problema con los ejercicios de inducción completa. Por ej:


H: 8^n - 2^n + 5^(n+1) - 3^(n+1) - 2.5^n = múltiplo de 6
T: 8^(n+1) - 2^(n+1) + 5^(n+2) - 3^(n+2) - 2.5^(n+1) = múltiplo de 6



Lo que yo hago para resolverlo es la resta Tesis - Hipótesis, y eso lo sumo a la derecha de la igualdad:


8^n - 2^n + 5^(n+1) - 3^(n+1) - 2.5^n = múltiplo de 6 + 7.8^h - 2^h + 4.5^(h+1) + 2.3^(h+1) - 8.5^h



De ahí deduciría que es falso porque 7.8^h no es múltiplo de 6. Pero tengo la resolución del ejercicio y lo que aparentemente se hace es volver a restar la hipótesis, y así sí se puede llegar a un resultado verdadero.


8^n - 2^n + 5^(n+1) - 3^(n+1) - 2.5^n = múltiplo de 6 + 6.8^h + 3.5^(h+1) + 3.3^(h+1)
8^n - 2^n + 5^(n+1) - 3^(n+1) - 2.5^n = múltiplo de 6 + 3 (5^(h+1) + 3^h)



Se elimina el 6.8^h por ser múltiplo de 6 y se demuesstra por inducción que (5^(h+1) + 3^h) es múltiplo de 2, por lo que 3(5^(h+1) + 3^h) es múltiplo de 6. Todo perfecto.

Pero no entiendo por qué vuelve a restar la hipótesis. Hoy iba a ir a clase de apoyo pero me olvidé que había elecciones (no curso los jueves). Así que si alguien me puede aclarar esa duda, se lo agradecería.

Muchas Gracias.
12-06-2008 18:03
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Gilgamesh Sin conexión
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Mensaje: #2
Re: [DISCRETA] Inducción Completa
Sinceramente ahora me tengo que ir a hacer compras. Cuando vengo veo si le puedo poner un ojo. Por lo general estos ejercicios se hacen como vos decis, haciendo cosas de la pinta Tesis-hipotesis.

Si sabes que la hipotesis es divisible por 6(por hipotesis) y que te queda que Tesis -hipotesis es divisible por 6 podes decir que la tesis es divisible por 6,no?

Ahora mirá esto: Vos haces algo de la forma Tesis-n*hipotesis, con cualquier n(lo tomás en función de la conveniencia para cancelar cosas). Sabiendo que hipotesis es divisible por 6, podes afirmar que n*hipotesis es divisible por 6.
Luego si (Tesis-n*hipotesis) es divisible por 6, tesis es divisible por 6.

Por otra parte, en estos ejercicios, si la hipotesis es con n y la tesis en con n+1, trato de que en la tesis me aparezcan cosas donde solo aparezca la n. Ejemplo: si en la tesis aparece algo como 8^(n+1) yo lo reescribo como 8*(8^(n)). De esa forma, ves mejor como es el tema de las cancelaciones entre la hipotesis y la tesis

Para verlo de forma más clara, podés trabajar con congruencia(simbolo de tres rayitas) modulo 6. A mi gusto, trabajar con módulo es más cómodo.

Cualquier cosa postea aca o manda un mensaje privado.Suerte
12-06-2008 19:10
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federicog Sin conexión
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Mensaje: #3
Re: [DISCRETA] Inducción Completa
Buenísimo Gilgamesh, quería comprobar si estaba bien trabajar con (Tesis-n*hipotesis) porque no estaba seguro, quizás había entendido mal la resolución.

La congruencia módulo x nunca la entendí muy bien, igualmente gracias por la sugerencia. Voy a intentar ver eso un poco mejor y quizás pueda usarlo para esto como decís.

Muchísimas gracias!
12-06-2008 21:28
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Gilgamesh Sin conexión
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Mensaje: #4
Re: [DISCRETA] Inducción Completa
La congruencia módulo es una relación de equivalencia, eso seguramente te lo dieron en clase. Lamentablemente, no le dan mucha bola a eso(por lo menos lo que vi en mi curso).
Más alla de todo, todas lo que son propiedades de divisibilidad, se trabajan(a mi gusto) mucho mejor con la congruencia.

Vos sabes que hipotesis es divisible por 6. Luego llegas a que tesis-n*hipotesis es divisible por 6.
Luego sabes que tesis-n*hipotesis=6k. Sabiendo que hipotesis es divi por 6, hipotesis=6*m.

Vos sabés que k y m existen y que son enteros.

reemplazando: tesis-n*6*m=6k
despejando tesis=6k+n*6*m
luego tesis/6=k+n*m. Luego tesis/6 es entero.Ya podés decir que tesis es divisible por 6

Espero haber sido claro :???:
13-06-2008 17:15
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[-] Gilgamesh recibio 1 Gracias por este post
kryptos (22-02-2015)
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Mensaje: #5
Re: [DISCRETA] Inducción Completa
Lo tuve que leer un par de veces pero lo entendí perfectamente, muchas gracias! Jamás se me hubiera ocurrido hacer eso, tendría que probarlo con un ejercicio en concreto a ver cómo queda...
13-06-2008 17:49
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