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Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores)
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pablit Sin conexión
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Mensaje: #1
Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores) Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
Hola a todos y a todas, me estoy preparando para rendir el final Álgebra y necesito que me den una mano en dos ejercicios...


El primero es de transformaciones lineales (el segundo ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)...
Creo tenerlo hecho bien (lo que hice está en los spoilers correspondientes a cada ítem)... necesitaría que me digan si está bien hecho así el ejercicio.

(1) Dada la transformación lineal :

(1.A) Halle para qué valores de , si existen, la dimensión del núcleo es 2.

Spoiler: Mostrar
Lo que hago es aplicar el teorema de las dimensiones, para llegar a que . Esto es lo mismo que el rango de la matriz.
Entonces, al llevar la matriz de la transformación a un Gauss-Jordan sólo podré pivotear una única vez... tengo que parar ahí porque no puedo "hacer 1" ningún otro elemento de la matriz.
Veamos...

Ahora, sabiendo que no puedo seguir pivoteando (ya lo hice una vez), llego a que:

Pero esto es un absurdo: no tiene solución.

Respuesta: No existe tal que .

(1.B) Para , determine sabiendo que pertenece al conjunto imagen.

Spoiler: Mostrar
Con , la matriz de la transformación lineal queda así:

Gausseo, y...


Entonces, llego a que .


El segundo es de autovalores y autovectores... (el tercer ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)
Acá, simplemente, no sé ni por dónde arrancar.

(2) Sea .

(2.A) ¿Para qué valores de la matriz tiene un autovalor de multiplicidad 2?

(2.B) ¿A es diagonalizable para los valores de hallados en el (2.A)?


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04-02-2014 16:05
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Mensaje: #2
RE: Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores)
El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:



Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
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04-02-2014 18:07
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[-] Wasol recibio 1 Gracias por este post
pablit (04-02-2014)
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Mensaje: #3
RE: Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores)
El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:



Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
Suerte!
04-02-2014 18:08
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Mensaje: #4
RE: Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores)
El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:



Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
Suerte!
04-02-2014 18:08
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Mensaje: #5
RE: Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores)
(04-02-2014 18:07)wasol escribió:  El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:



Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
Suerte!

Gracias!
Pude hacerlo y llegué a eso mismo: y .

Lo completo acá, ya que estamos:

Con :

Como la solución es , la .
Entonces, como la multiplicidad algebraica (que es 2) es distinta de la multiplicidad geométrica (es 0) A no es diagonalizable.

Ahora... con :

Ocurre lo mismo que antes, la solución es: . Entonces, la .
Como antes: la multiplicidad algebraica (que es 2) es distinta de la multiplicidad geométrica (es 0). Entonces, A tampoco es diagonalizable.


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04-02-2014 21:01
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Wasol Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores)
Nunca voy a entender por qué la respuesta se envió tres veces, pero bueno. Suerte che!
04-02-2014 21:13
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Mensaje: #7
RE: Dos ejercicios de final (TLs y autovalores-autovectores)
Otra pregunta, ya que estamos (es parecido al segundo que subí)...

Sea , hallar los valores de y para que sea autovalor doble (multiplicidad algebraica = 2) y A sea diagonalizable.


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05-02-2014 20:57
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