Hola gente, quisiera saber la resolucion del ejercicio 1 del parcial tomado 12-07-13. De paso dejo como aporte este 4to parcial

1)
a)Para calcular la respuesta al impulso se plantea la anti-transformada por definicion:

\[h[n]=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }H(e^{jw})e^{jnw}\, dw\]

Para eso la dividimos en dos integrales:

\[h[n]=\frac{1}{2\pi } \left ( \int_{-\pi }^{0}je^{jnw}\, dw + \int_{0}^{\pi }-je^{jnw}\, dw \right )\]

Al resolverlas se llega a:

\[h[n]=\frac{1}{\pi n} \left (1-cos(n\pi )\right )\]

Aplicando la siguiente igualdad:

\[2sen^{2}(x)=1-cos(2x)\]

teniendo en cuenta:

\[2x=n\pi \, \, \, \Rightarrow x=\frac{n\pi }{2}\] y \[\frac{sen(x)}{x}=sinc(x)\]

se llega a que:

\[h[n]=\frac{n\pi }{2} sinc^{2}(\frac{n\pi }{2})\]

Se demuestra que

\[h[-n]=-h[n]\]

Por lo que tiene simetría impar.

b)Este ítem se resuelve aplicando la relación de Parseval de la Energia:

\[E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left | h[n] \right |^{2}}= \frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{}\left |H(e^{jw}) \right |^{2}\, dw\]

La segunda integral es 1, al ser \[\left |H(e^{jw}) \right |=1 \, \, \forall w\]

Por lo tanto:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left | h[n] \right |^{2}}=1\]

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left |\frac{n\pi }{2} sinc^{2}(\frac{n\pi }{2}) \right |^{2}}=1\]

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\frac{n^{2}\pi^{2} }{4} sinc^{4}(\frac{n\pi }{2})}=1\]

Y finalmente llegas a demostrar que:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{n^{2}sinc^{4}(\frac{n\pi }{2})}=\frac{4}{\pi ^{2}}\]

c)La verdad no se que haría, pero si es un desfasador digital supongo que a la salida me quedara un seno en vez de un coseno, igual lo haría por definición también.

Este parcial lo di, no tuve tiempo de hacerlo en el mismo jaja una bronca!

Muchas gracias . Yo tengo qie dar recuperatorio de este parcial.me volteo este mismo ejercicio jaja

Yo el viernes recupero el 3ro, este lo saque porque el dos lo había dado igual en la carpeta, y justo lo estudie el día anterior, y el 3 era mas o menos accesible, suerte con eso entonces! jaja