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[Duda]Sistemas de ecuaciones
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Shanks! Sin conexión
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Mensaje: #1
[Duda]Sistemas de ecuaciones
Heme aquí, traigo dos ejercicios, ambos sistemas de ecuaciones a resolver por Gauss.
El primero no entendi como lo explicaron en el pizarrón, y otro que sinceramente no me da el resultado y no se que estoy haciendo mal.
Aquí va el primero, espero alguien me lo pueda explicar o desarrollar mejor =D

4.2)
Indique los valores de k reales tal que el sistema sea: Compatible determinado, Compatible indeterminado, ó incompatible.





SCD:
SCI:
SI:

17)
Sea el sistema:




con

Resuelva el sistema para

(EDIT: Gauss me salio medio choto pero no se como hacerlo con Latex)



x y z k

4 -3 1 7 E1

-1 2 -3 0 E2

9 2 -2 7 E3
__________
4 -3 1 7 E1'=E1
0 5 -11 7 E2'=E2*4+E1
0 20 -29 70 E3'=E3+E1*9
__________
0 0 15 42

me da:

15z=42
z=42/15

z=

lo cual esta mal, porque las respuestas son:



y por ende no puedo despejar y ni x.

Muchas gracias por su tiempo!!

Dividi el tema del anterior para facilitar la busqueda a otros usuarios con tus mismas dudas, disculpa si no te contesto voy de salida ahora, en un rato mas vuelvo thumbup3

>Give me your best shot.


Si te sirve agradecé, un click lo vale... ¿O no?
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 06-02-2012 15:53 por Saga.)
06-02-2012 14:22
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Mensaje: #2
RE: [Duda]Sistemas de ecuaciones
4.2) Nota: Copiaste mal el resultado de las k para el SCD. Debería ser:

Bueno, una manera de resolver este ejercicio es a través del determinante. No se si en el ingreso te enseñan determinante; de todas maneras voy a hacer de cuenta que sí y te explico de esta forma ya que es la unica manera que se me ocurre para resolverlo. Estaría bueno que, si no les enseñan determinantes, nos cuentes a través de que manera se puede saber si un sistema es SCD, SCI o SI, asi te lo puedo explicar de esa manera.

Spoiler: Mostrar
Partamos de las siguientes premisas:

- Si el determinante de un sistema es distinto a 0, entonces el sistema es compatible determinado
- Si el determinante de un sistema es igual a 0, entonces el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible.

Con respecto a este ejercicio, tené en cuenta lo siguiente:

- Cuando calculas un determinante cualquiera, vos estas haciendo operaciones entre los coeficientes del sistema. En un sistema normal, todos los coeficientes son números, por lo tanto el determinante va a ser un número. En este ejercicio tenés la k como coeficiente en varios lugares, por lo tanto el determinante no va a ser un numero específico, sino que te va a quedar una ecuacion que va a contener una o más k.

Entonces, es bastante sencillo el procedimiento para resolver este ejercicio:

- Averiguas el determinante. Si resolvés bien, el determinante te debería quedar:



Volvamos a las premisas del principio.

- Si el determinante de un sistema es distinto a 0, entonces el sistema es compatible determinado.
- Si el determinante de un sistema es igual a 0, entonces el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible.

Averiguamos entonces las soluciones o raices de esa ecuación de segundo grado:



Esto quiere decir que cuando K = -1 o cuando K = 2, el determinante es igual a 0 y por consecuencia el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. Para todos los demás valores de k, el determinante va a ser distinto de 0 y por lo tanto el sistema va a ser compatible determinado.

Ya tenés que para K distinto de -1 o de 2 el sistema es compatible determinado. La pregunta ahora es: Qué número tiene que ser k para que sea SCI y que número tiene que ser k para que sea SI?

Sólo nos quedan dos posibles valores de k: -1 y 2. Recordemos que para cualquier otro valor de k el sistema es SCD.
Entonces lo que resta hacer es reemplazar k primero por -1 y luego por 2 en el sistema y ver qué pasa en cada caso. Si probamos el -1 y el sistema nos devuelve infinitas soluciones, entonces para k = -1 el sistema es SCI. Si en cambio no nos devuelve soluciones, el sistema es SI. Lo mismo hacemos después con el 2. Ejercicio terminado.


Ahora bien: cuándo entra Gauss en todo esto? Gauss te puede ayudar a "acomodar" un poco el sistema original, así después podés calcular el determinante sobre un sistema más "lindo". Pero la realidad es que el determinante lo podés calcular a partir tanto del sistema original como del después de aplicar Gauss. Por lo tanto, si resolves este ejercicio con determinantes, no necesitás utilizar Gauss.

PD: Mañana sigo con el otro.
07-02-2012 01:45
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Mensaje: #3
RE: [Duda]Sistemas de ecuaciones
17) Empezaste bien a resolver Gauss, después te equivocaste en algun signo o algún número seguro. Acá te lo dejo resuelvo para que te fijes:

Spoiler: Mostrar
Para k = 2 el sistema nos queda:



Empezamos a resolver con Gauss:







Podemos observar que obtuvimos el siguiente sistema luego de aplicar Gauss:



Finalmente podemos despejar z:



Reemplazamos z en este ultimo sistema que obtuvimos, y averiguarmos primero y, y despues x.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 07-02-2012 12:16 por ► GABO ◄.)
07-02-2012 11:55
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Mensaje: #4
RE: [Duda]Sistemas de ecuaciones
(07-02-2012 01:45)► GABO ◄ escribió:  

Entendi todo de ambos ejercicios, exceptuando que no encuentro de donde sacaste el determinante (Que según tengo entendido es la raíz al cuadrado de b^2-4ac)

O sea, simplemente planteaste que 2k=b?


Gracias !

>Give me your best shot.


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(Este mensaje fue modificado por última vez en: 07-02-2012 14:08 por Shanks!.)
07-02-2012 14:06
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Mensaje: #5
RE: [Duda]Sistemas de ecuaciones
Eso que vos decis es el discriminante de una ecuación de segundo grado. El discriminante (de una ecuación cualquiera) te sirve para analizar el tipo de soluciones de una ecuación, sin necesidad de resolver esa ecuación.

El determinante es otra cosa. El determinante te permite analizar el tipo de soluciones de un sistema de ecuaciones, sin necesidad de resolver ese sistema de ecuaciones.

Por eso te pregunto si vieron determinante. Si no lo vieron, entonces tienen que haber visto otra forma de determinar cómo es el sistema (SCD, SCI o SI) sin necesidad de resolverlo.
07-02-2012 14:46
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RE: [Duda]Sistemas de ecuaciones
(07-02-2012 14:46)► GABO ◄ escribió:  Eso que vos decis es el discriminante de una ecuación de segundo grado. El discriminante (de una ecuación cualquiera) te sirve para analizar el tipo de soluciones de una ecuación, sin necesidad de resolver esa ecuación.

El determinante es otra cosa. El determinante te permite analizar el tipo de soluciones de un sistema de ecuaciones, sin necesidad de resolver ese sistema de ecuaciones.

Por eso te pregunto si vieron determinante. Si no lo vieron, entonces tienen que haber visto otra forma de determinar cómo es el sistema (SCD, SCI o SI) sin necesidad de resolverlo.


Si, utilizamos gauss, determinante no vimos (jeje, tienen nombres parecidos xD)

y a partir del resultado de gauss se deduce que valores deberia tomar (quien paso a resolverlo hizo algo re extraño que no entiendo), pero en esencia fue a partir de gauss.

>Give me your best shot.


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07-02-2012 15:32
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RE: [Duda]Sistemas de ecuaciones
Shanks, ya lo pude sacar sin usar determinante thumbup3

4.2)

Spoiler: Mostrar
El sistema original es:



Entonces vamos a aplicar Gauss:





Fijate que a través de Gauss, obtuvimos la siguiente ecuación



Luego de algunos pasos despejamos z y nos queda:



Fijate que es una división. En una división, el divisor tiene que ser distinto de 0. Si el divisor fuera 0, esta ecuación no tendría soluciones reales, y el sistema en sí no tendría soluciones determinadas. Por lo tanto, para que el sistema sea compatible determinado, ese divisor tiene que ser distinto a 0.

Lo que resta ahora es encontrar las raices y . Estas raices son las que hacen que el divisor sea 0. Por lo tanto, para y el sistema va a ser o bien compatible indeterminado o bien incompatible. Para cualquier otro valor de k el sistema va a ser compatible indeterminado.
07-02-2012 16:58
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