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Dudas: TL y autovectores y autovalores.
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Mensaje: #1
Dudas: TL y autovectores y autovalores. Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
Hola, estoy haciendo los ejercicios complementarios que subió maryary al foro y estos no me salen:

-58) Halle a perteneciente a los reales tal que exista una única transformación lineal que cumpla las siguientes condiciones:T(0,2,0)=(2,0,2), T(1,0,1)=(0,1,2), T(1,1,1)=(a,1,3), Nu(T) tiene las ecuaciones: 2x=-y=z . Justifique
Obtenga la expresión analítica de la transformación, su imagen y verifique el teorema de las dimensiones.
Rta.: a = 1
dimNu(T) = 1; dimIm(T) = 2;

Lo que se me ocurre es sacar la dimensión del núcleo y armar la matriz con los generadores de la imagen. Luego usando el teorema de las dimensiones, hallo a para que la imagen tenga la dimensión que necesito que tenga.

60) Sea el plano que contiene al eje “z” y al punto (1,2,1). Defina una transformacion lineal F:R3 a R2x2 que verifique:
Nu (F) pertecece al plano anteriormente mencionado y Im(F) = { M pertenece R2x2 / M es simetrica y de traza nula}
Obtenga la expresión analítica de F y el núcleo.

84) Se desea obtener la proyección de un punto cualquiera del espacio sobre el plano: x+y+z=0.
a) Mediante una TL cuya matriz asociada resulte diagonal
b)Mediante una TL cuya matriz asociada opere en la base canónica

En este saqué los generadores del plano que me dan, pero no sé como seguirlo.

Muchas gracias!
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.jpg  img001.jpg ( 461,67 KB / 938) por matyary
18-05-2012 12:13
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Mensaje: #2
RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
En el ejercicio 58 sacando una base del núcleo el problema sale sólo.

Fijate que dice

Entonces

Si con eso no lo sabés hacer, después lo miro bien.

Los otros no los leí, igual después busco en mi quilombo de cuarto que creo que todavía los tengo resueltos... cualquier cosa los escaneo.



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Mensaje: #3
RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
(18-05-2012 12:13)lu. escribió:  58)
Lo que se me ocurre es sacar la dimensión del núcleo y armar la matriz con los generadores de la imagen. Luego usando el teorema de las dimensiones, hallo a para que la imagen tenga la dimensión que necesito que tenga.

Sep tal cual, fijate que la dim(Nu(t))=1 ya sin hacer ninguna cuenta porque geometricamente las ecuaciones corresponden a una recta, entonces para que se cumpla el teorema, la dimensión de la imagen debe ser 2, arma la matriz asociada y calcula los valores de "a" tal que su determinate sea 0

Cita: 60) Sea el plano que contiene al eje “z” y al punto (1,2,1). Defina una transformacion lineal F:R3 a R2x2 que verifique:
Nu (F) pertecece al plano anteriormente mencionado y Im(F) = { M pertenece R2x2 / M es simetrica y de traza nula}
Obtenga la expresión analítica de F y el núcleo.

Si el plano contiene al eje z, en particular contiene al punto (0,0,0) entonces es facil ver que



Si usamos la otra parte de la info del enunciado tenemos



de donde haciendo las cuentas tenes que una base de este espacio de

llegada es (salvo error en cuentas mias)



para definir T toma dos vectores que mas te gusten de siempre tomando en cuenta

que sean li con el del nucleo, y de ahi me parece que podes continuar, cualquier duda ;)

Cita:84) Se desea obtener la proyección de un punto cualquiera del espacio sobre el plano: x+y+z=0.
a) Mediante una TL cuya matriz asociada resulte diagonal
b)Mediante una TL cuya matriz asociada opere en la base canónica

dejame pensarlo, si no te contestan mas tarde lo vemos

PD: revisa las cuentas que hice por las dudas, soy medio desastre en cuentas blush

[Imagen: 165261.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 18-05-2012 13:09 por Saga.)
18-05-2012 13:03
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Mensaje: #4
RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
EJERCICIO 58.
   

Los otros dos parece ser que no los hice en su momento.
Del 60 te puedo decir que estoy de acuerdo con lo que planteó Saga y el 84 no tengo idea Jaja



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Mensaje: #5
RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Muchas gracias chicos!

Saga, te hago una pregunta. Cuándo en el ejercicio 60, sacás el generador del núcleo, el vector director del plano que elegiste fue arbitrario teniendo en cuenta que el término independiente tiene que ser nulo al igual que el componente en z ? o como lo sacaste?
Les hago otra consulta. Recién haciendo un final, había un ejercicio que decía:

Sea la matriz
4 0 0
0 2 2
2 3 a


=Av= -v , calcule a.

Esto se resuelve haciendo un sistema de ecuaciones, planteando que v=(x,y,z) o con otra cosa?
Porque como no me dicen que es diagonalizable, otras propiedades no puedo usar...

Perdón, intenté usar el latex pero me aparece cualquier cosa jaja
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 18-05-2012 18:23 por lu..)
18-05-2012 18:03
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Mensaje: #6
RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
(18-05-2012 18:03)lu. escribió:  Muchas gracias chicos!

Saga, te hago una pregunta. Cuándo en el ejercicio 60, sacás el generador del núcleo, el vector director del plano que elegiste fue arbitrario teniendo en cuenta que el término independiente tiene que ser nulo al igual que el componente en z ? o como lo sacaste?

Si te referís a esto:

(18-05-2012 13:03)Saga escribió:  

Sabiendo que contiene al eje y pasa por el punto hizo el siguiente producto vectorial:




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RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Ahhh , listo entendí, muchas gracias =)
18-05-2012 18:25
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RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Tenés que poner el & entre cada elemento de la matriz para que se vea bien en el mensaje Jaja

(18-05-2012 18:03)lu. escribió:  Les hago otra consulta. Recién haciendo un final, había un ejercicio que decía:

Sea la matriz:



y sabiendo que T(v)=Av= -v , calcule a.

Esto se resuelve haciendo un sistema de ecuaciones, planteando que v=(x,y,z) o con otra cosa?
Porque como no me dicen que es diagonalizable, otras propiedades no puedo usar...[/code]

Exactamente... decís que por ende:






Dejenmé escribir mi propuia conclusión... me llamó la atención el ejercicio y estuve buscando un poco de teoría.

Miren la matriz cuando (al resultado que llegué anteriormente). Para ese valor de el determinante de la matriz es y yo sé que cuando el determinante de la matriz es nulo, estamos en presencia de una matriz singular. Y si mal no recuerdo una matriz ingular posee un único autovalor. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente analicemos la función para cualquier valor de . Presten atención, dado que dos columnas se anulan por tener el primer elemento (elemento cabecera, como quieran llamarlo) nulo, la única columna que me afecta al determinante es la del . Por ende, el único autovalor que me hace nulo el determinante es ; en conclusión es singular. Todo concuerda =D


Off-topic:
Mil disculpas por ésto. Me releo y doy asco, un nerd de mierda Jaja


En fin espero que esté bien todo (esta conclusión inclusive) y que te haya servido.



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(Este mensaje fue modificado por última vez en: 18-05-2012 19:05 por matyary.)
18-05-2012 18:27
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Mensaje: #9
RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Gracias! Ahora intento hacerlo...igual no me cierra como multiplicaste la matriz...No se multiplicaría (4,0,0) por (x,y,x) en vez de (4,0,2) por (x,y,z) ?

El último que subí tienen idea como hacerlo?(el 84)
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 19-05-2012 21:10 por lu..)
19-05-2012 21:05
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RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Uh.. disculpa no me puse con ese , estaba preparando fisica que el lunes rindo... fijate por aca que hice una correccion http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-dud...l-de-final

[Imagen: 165261.gif]
19-05-2012 21:11
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RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Sisi, lo acabo de ver, gracias =)
19-05-2012 21:14
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RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
(19-05-2012 21:05)lu. escribió:  Gracias! Ahora intento hacerlo...igual no me cierra como multiplicaste la matriz...No se multiplicaría (4,0,0) por (x,y,x) en vez de (4,0,2) por (x,y,z) ?
De lo que está en rojo supongo que quisiste escribir no? Y la respuesta a tu pregunta es no, acordate que las columnas representan respectivamente. Es decir que en , en y en como puse yo.

Cita:El último que subí tienen idea como hacerlo?(el 84)
No, no lo sé.



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19-05-2012 22:45
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RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Matyary, no me aparecen las imágenes que pusiste Confused
20-05-2012 00:45
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RE: Dudas: TL y autovectores y autovalores.
Ya me pasó varias veces, ahora se ve?

(19-05-2012 22:45)matyary escribió:  
(19-05-2012 21:05)lu. escribió:  Gracias! Ahora intento hacerlo...igual no me cierra como multiplicaste la matriz...No se multiplicaría (4,0,0) por (x,y,x) en vez de (4,0,2) por (x,y,z) ?
De lo que está en rojo supongo que quisiste escribir no? Y la respuesta a tu pregunta es no, acordate que las columnas representan respectivamente. Es decir que en , en y en como puse yo.

Cita:El último que subí tienen idea como hacerlo?(el 84)
No, no lo sé.

Sino citá mi post y ahí lo ves seguro.



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