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Ejercicio Am2
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fede0089 Sin conexión
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Mensaje: #1
Ejercicio Am2 Ejercicios Análisis Matemático II
Hice este post porque este ejercicio me esta traumando, y no lo puedo resolver jaja
Pide analizar continuidad, diferenciabilidad y derivabilidad de la siguiente función.

F(x,y) | (y-1)^2*sen x / (x,y) distinto de (0,1)
(x^4+(y-1)^2)
| 0 (x,y) = (0,1)

Analicé en el punto de conflicto (0,1).Probé analizando la CONTINUIDAD, que parecía lo mas sencillo y ademas porque en caso de probar que no es continua, no seria diferenciable ; pero si bien llego a tener a 0 como el candidato del limite no puedo conlcuir nada.

Después probé también probando la derivabilidad en cualquier dirección (u1,u2) y no llego a nada certero. Si no me equivoco , lo que si pude ver es que al existir 4 direcciones en que se anula la derivada, no es diferenciable (porque solo tendría que haber 2)

Igualmente no puedo terminar el ejercicio correctamente.
Espero que alguien pueda darme una mano =P
por si no se entiende, es una función partida, cuando (x,y) es distinto de (0,1) la funcion es
[ (y-1)^2*sen x ] / [(x^4+(y-1)^2)]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 27-07-2010 14:23 por fede0089.)
27-07-2010 14:09
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guidok Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Ejercicio Am2
Para la continuidad:

Vos tenés:

[ (y-1)^2*sen x ] / [(x^4+(y-1)^2)]

Es acotada por infinitésimo => es continua.

Tenés: [(y-1)^2]/[(x^4)+(y-1)^2]*sen(x) , o sea, el sen(x) lo podes "sacar afuera de la función", total se multiplica por el numerador.

Entonces sen(x) sería el infinitésimo y [(y-1)^2]/[(x^4)+(y-1)^2] es acotada porque:

x^4 >= 0
x^4 + (y-1)^2 >= (y-1)^2
[(y-1)^2]/[(x^4)+(y-1)^2] <= [(y-1)^2]/[(y-1)^2]
[(y-1)^2]/[(x^4)+(y-1)^2] <= 1

entonces:

0 <= [(y-1)^2]/[(x^4)+(y-1)^2] <= 1 , es decir, está acotada entre 0 y 1.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 27-07-2010 14:52 por guidok.)
27-07-2010 14:51
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fede0089 Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Ejercicio Am2
aa mira vos , estaba tan nublado que ni cuenta me di, y la derivabilidad? alguna idea?
27-07-2010 15:09
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guidok Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: Ejercicio Am2
Para las derivadas direccionales y diferenciabilidad:

Tomo como versor genérico el (a;b).

lím t->0 [t^2*b^2*sen(ta)]/[t^5*a^4+t^2*b^2]

(multiplico por ta denominador y numerador para sacar el sen(ta))

lím t->0 [t^3*b^2*a]/[t^5*a^4+t^3*b^2]

(saco factor común t^3 y cancelo)

lím t->0 [b^2*a]/[t^2*a^4+b^2]

y queda [b^2*a]/[b^2]

que es igual a "a", con b^2 distinto de 0.

Si b^2=0, es decir b=0, no existen las derivadas direccionales.


Entonces, al no existir las derivadas en todas las direcciones, no es diferenciable en el punto.

Creo que está bien, pero me puedo haber equivocado tranquilamente jajaj asi que no lo tomes como la verdad asboluta xD
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 27-07-2010 15:34 por guidok.)
27-07-2010 15:13
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AGUSTIN27 Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: Ejercicio Am2
a ver si me podes ayudar con este capo!
f(x,y)= (x^3 + h'(y) ; e^y + x.y^2 + x.h(y) ) encuentre la funcion h(y) para que f sea conservativo y f (1;0)= (1;1)
muchas gracias




(27-07-2010 15:13)guidok escribió:  Para las derivadas direccionales y diferenciabilidad:

Tomo como versor genérico el (a;b).

lím t->0 [t^2*b^2*sen(ta)]/[t^5*a^4+t^2*b^2]

(multiplico por ta denominador y numerador para sacar el sen(ta))

lím t->0 [t^3*b^2*a]/[t^5*a^4+t^3*b^2]

(saco factor común t^3 y cancelo)

lím t->0 [b^2*a]/[t^2*a^4+b^2]

y queda [b^2*a]/[b^2]

que es igual a "a", con b^2 distinto de 0.

Si b^2=0, es decir b=0, no existen las derivadas direccionales.


Entonces, al no existir las derivadas en todas las direcciones, no es diferenciable en el punto.

Creo que está bien, pero me puedo haber equivocado tranquilamente jajaj asi que no lo tomes como la verdad asboluta xD
27-07-2010 15:59
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guidok Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: Ejercicio Am2
(27-07-2010 15:59)AGUSTIN27 escribió:  a ver si me podes ayudar con este capo!
f(x,y)= (x^3 + h'(y) ; e^y + x.y^2 + x.h(y) ) encuentre la funcion h(y) para que f sea conservativo y f (1;0)= (1;1)
muchas gracias

A ver.

La condición necesaria para que un campo vectorial sea conservativo es que su matriz jacobiana sea simétrica.

Entonces si llamamos:
P(x,y)=x^3 + h'(y)
Q(x,y)=e^y + x*y^2 + x*h(y)

para que la matriz jacobiana sea simétrica P'y=Q'x

P'y=h''(y)
Q'x=y^2 + h(y)

Entonces nos queda:

h''-h=y^2

Es una ecuación diferencial de segundo orden.

La solución general es la solución homogénea + la solución particular.

1) Averigüamos la homogénea.

h''-h=0

La ecuación característica es r^2-1=0, cuyas raices son r1=1, r2=-1.

Entonces la solución homogénea es: h=c1*e^y + c2*e^-y


2) Averigüamos la solución particular.

Proponemos de solución h=ay^2+by+c.
Entonces h'=2ay+b
h''=2a

Reemplazamos en la ecuación diferencial:

2a-ay^2-by-c=y^2

Entonces:
-a=1 -> a=-1
-b=0 -> b=0
2a-c=0 -> -2-c=0 -> c=-2

Por lo tanto la solución particular es: -y^2 - 2



Finalmente la solución general es:
h(y)=c1*e^y + c2*e^-y - y^2 - 2

Pero tenemos que encontrar la solución particular para f(1,0)=(1,1)

Entonces sabemos que:

1+h'(0)=1 -> h'(0)=0
1+h(0)=1 -> h(0)=0

Sabiendo que h(y)=c1*e^y + c2*e^-y - y^2 - 2

h'(y)=c1*e^y - c2*e^-y -2y

h'(0)=c1-c2=0

h(0)=c1+c2-2=0

c1=c2

2c1=2 -> c1=c2=1


FINALMENTE:

h(y)=e^y + e^-y -y^2 -2



Repito, puede ser que me haya equivocado eee =P chequeenlo bien.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 27-07-2010 19:10 por guidok.)
27-07-2010 19:07
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gonnza Sin conexión
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Mensaje: #7
RE: Ejercicio Am2

Off-topic:
Creo que esta bien, lo repase por arriba..
explicas bien, un consejito nomas, usa "latex" para escribir las ecuaciones, asi queda mas comodo a la lectura.
esto lo haces con los tags





Por ej, si agarras 2a-ay^2-by-c=y^2 y lo escribis entre esos tags, asi




fijate que queda mucho mas comodo:


wave

[Imagen: v34BEFt.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 27-07-2010 21:49 por gonnza.)
27-07-2010 21:48
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Mensaje: #8
RE: Ejercicio Am2
Jajajaj sí! Quería ver como hacía pero no encontré el topic que hablaba del Latex, gracias Gonza.

Los editaría pero me dice que no se puede editar una vez pasados los 30 mins Confused
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 27-07-2010 22:36 por guidok.)
27-07-2010 22:33
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gonnza Sin conexión
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Mensaje: #9
RE: Ejercicio Am2
si, antes era una hora, achicaron el margen
no les daba el presupuesto (?
sobre el link de Latex, evidentemente se perdio con el traspaso del foro, porque lo encontre y no me deja acceder =P
asique ahora le mando un MP a LeanDG

saludos !

[Imagen: v34BEFt.gif]
27-07-2010 22:42
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guidok Sin conexión
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Mensaje: #10
RE: Ejercicio Am2
Buenísimo, si la verdad que se hace medio complicado de entender escrito así nomás, pero bueh xD
27-07-2010 22:55
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fede0089 Sin conexión
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Mensaje: #11
RE: Ejercicio Am2
che ya que esta les pregunto sobre otro ejercicio que me complica la vida =P;
pide demostrar que f(0) es un minimo absoluto en sentido amplio de los valores de f en D pero NO es un mínimo relativo o local.
la funcion f(x,y) = para todo (x,y) distinto de (0,0) y 0 para (x,y) = (0,0)

muchas gracias
saludos
28-07-2010 16:03
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Mensaje: #12
RE: Ejercicio Am2
Reemplazamos en la ecuación diferencial:

2a-ay^2-by-c=y^2

Entonces:
-a=1 -> a=-1
-b=0 -> b=0
2a-c=0 -> -2-c=0 -> c=-2



COMO HICISTE PARA HALLAR LOS VALORES DE A,B,C ? NO ENTENDI ESO, LO DEMAS TA PERFECTO
28-07-2010 17:05
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Mensaje: #13
RE: Ejercicio Am2
(28-07-2010 16:03)fede0089 escribió:  che ya que esta les pregunto sobre otro ejercicio que me complica la vida =P;
pide demostrar que f(0) es un minimo absoluto en sentido amplio de los valores de f en D pero NO es un mínimo relativo o local.
la funcion f(x,y) = para todo (x,y) distinto de (0,0) y 0 para (x,y) = (0,0)

muchas gracias
saludos

Bueno, vos sabés que , y si te fijás, los valores que toma la función son SIEMPRE mayores a 0, es decir que es un mínimo absoluto (la raíz da siempre positiva, por ser una raíz cuadrada, y el denominador es también siempre positivo porque está elevado a exponentes pares).


(28-07-2010 17:05)AGUSTIN27 escribió:  Reemplazamos en la ecuación diferencial:

2a-ay^2-by-c=y^2

Entonces:
-a=1 -> a=-1
-b=0 -> b=0
2a-c=0 -> -2-c=0 -> c=-2



COMO HICISTE PARA HALLAR LOS VALORES DE A,B,C ? NO ENTENDI ESO, LO DEMAS TA PERFECTO

Vos tenés que:



Entonces tenés que igualar los coeficientes, no se bien como explicarlo, espero que se entienda jajaja.

En el primer miembro de la ecuación el coeficiente que acompaña a es -a, y en el segundo miembro, el coeficiente que acompaña a es 1, por lo tanto igualás:
-a=1, con lo cual te queda a=-1

Hacés lo mismo con los otros coeficientes: en el primer miembro el que acompaña a es -b y en el segundo miebro es 0, porque no aparece , etc.
28-07-2010 18:17
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Mensaje: #14
RE: Ejercicio Am2
Cita:Bueno, vos sabés que , y si te fijás, los valores que toma la función son SIEMPRE mayores a 0, es decir que es un mínimo absoluto (la raíz da siempre positiva, por ser una raíz cuadrada, y el denominador es también siempre positivo porque está elevado a exponentes pares).

No me queda claro, suponiendo que el dominio son R2 - (0,0), pueden tomar valores negativos y me quedan raíces negativas, o no?
28-07-2010 20:53
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Mensaje: #15
RE: Ejercicio Am2
No, para saber cuál es el dominio tenés que fijarte no solo que el denominador sea distinto de 0, sino que lo que está adentro de la raíz sea mayor o igual a 0.

Igual en este caso no importa sacar el dominio. Uno tiene que darse cuenta de que el numerador, al ser una raíz va a dar SIEMPRE un numero no negativo. Y el denominador, como ambos sumandos están elevados al cuadrano, SIEMPRE va a ser positivo. Por lo tanto para cualquier valor de X e Y pertenecientes al dominio, la función va a dar un valor siempre mayor a 0. Asi que f(0,0)=0 es un mínimo absoluto.

No se de qué otra forma explicarlo jajaj
28-07-2010 23:24
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