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Ejercicio olimpiadas matematicas
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juanpat007 Sin conexión
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Mensaje: #1
Ejercicio olimpiadas matematicas
Hola chicos, este tema nada q ver con la UTN pero por ahi alguien me da una mano:

Mi hija de 11 años compite en olimpiadas matematicas y le dan algunos ejercicios de combinatoria y variaciones medios extraños que los tienen q resolver a ojo y sin formulas y yo le estoy dando una mano pero hay ejercicios q no se como resolverlos (con formulas) para verificar si los esta haciendo bien.

Aca va 1 que resolvi pero me gustaria saber si se puede resolver con algun calculo

1.- Ana escribe un numero de 4 cifras.
Julieta escribe el numero siguiente al que escribio Ana.
La suma de los digitos al numero que escribio ana es 25 y la suma de los digitos de Julieta es 17.
¿que numero pudo haber escrito ana?, da todas las posibilidades.
Resolucion 1969 y 1970; 2869 y 2870; 3769 y 3770; 4669 y 4670; 5569 y 5570; 6469 y 6470; 7369 y 7370; 8269 y 8270; 9169 y 9170 Creo que estos son todos pero no se me ocurre como verificar si esta bien.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 09-08-2012 22:08 por juanpat007.)
09-08-2012 22:00
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alexandermonday Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Busqueda metodica de numeros:

1) Consideramos el primer grupo de numeros consecutivos que conserven las centenas y los millares.
- los dos primeros digitos son iguales [a] [b]
- la diferencia entre la suma de sus digitos es 8 ( 25 - 17 ) , esa diferencia la debe aportar el tercer y el cuarto digito .
- eso se da en casos que los dos ultimos digitos sean:
[n] 9
[n+1] 0
- para NroX , su unidad es el 9
- para NroX+1 , su unidad es el 0

Formato de ambos numeros:
NroX = [a] [b] [n] [9] ; a + b + n + 9 = 25
NroX+1 =[a] [b] [n+1] [0] ; a + b + n + 1 + 0 = 17

OBS1: n nunca debe valer nueve
El metodo que se me ocurre para encontrar los numeros a , b y n es:
a + b + n = 16
Como mencione las unidades son: para NroX es 9 y para el NroX+1 es 0
A) con n = 8 => a + b = 8
( a ; b ) ( decremento uno , incremento al otro )
8 0
7 1
6 2
5 3
4 4
3 5
2 6
1 7
0 8
⇒ a partir de ahora a comienza con nueve , y la columna b se desplaza uno hacia arriba y se pierde la ultima combinacion que proveyo la combinacion anterior:
B) con n = 7 => a + b = 9
9 0
8 1
7 2
6 3
5 4
4 5
3 6
2 7
1 8
0 9
C) con n = 6 => a + b = 10
9 1
8 2
7 3
6 4
5 5
4 6
3 7
2 8
1 9
D) con n = 5 => a + b = 11
9 2
8 3
7 4
6 5
5 6
4 7
3 8
2 9
C) con n = 4 => a + b = 12
9 3
8 4
7 5
6 6
5 7
4 8
3 9
D) con n = 3 => a + b = 13
9 4
8 5
7 6
6 7
5 8
4 9
E) con n = 2 => a + b = 14
9 5
8 6
7 7
6 8
5 9
F) con n = 1 => a + b = 15
9 6
8 7
7 8
6 9
G) con n = 0 => a + b = 16
9 7
8 8
7 9
Con lo que totalizamos en este primer grupo unos 61 numeros que cumplen la condicion.

Saludos!
Ale.

PD: me estoy tentando hacer un programa , con el que el listado sale con fritas... pero seguire pensando en los otros grupos que no cumplan el formato que indique arriba.
09-08-2012 23:33
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alexandermonday Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Pense y no encontre otro grupo.
Hice un prog para verificarlo y da 61 pares !
Esta en php



<?

for( $n=0 ; $n < 10000 ; $n++ )
{
if( suma_digitos( $n ) == 25 && suma_digitos( $n+1 ) == 17 )
{
printf("%04d %04d\n",$n,$n+1) ;
}

}

function suma_digitos( $numero )
{
$s_NNNN = sprintf("%04d",$numero) ;
$suma = 0 ;
for( $i = 0 ; $i < 4 ; $i++ )
{
$digito = substr( $s_NNNN , $i , 1 ) ;
$suma += $digito ;
}
return $suma ;
}

?>


10-08-2012 00:42
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sebah_12 Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Siendo los números:
x=abcd
x+1=a'b'c'd'

Es:
a+b+c+d = 25 (1)
a'+b'+c'+d' = 17 (2)

A)
si d=9 -> d'=0 ^ si c=9 ->c'=0 ^ si b=9 -> b'=0 -> a'=a+1

Como a+b+c+d > 25 NO CUMPLE condición (1)

B) si d=9 -> d'=0 ^ si c=9 -> c'=0 ^ b<9 -> b'=b+1 -> a'=a+1

Si reemplazamos en (1) y (2) y hacemos (1)-(2) nos da: a-(a+1)+b-(b+1)+9-0+9-0=25-17-> 16=8 NO VALE este grupo tampoco

C) si d=9 -> d'=0 ^ c<9 -> c'=c+1 -> b'=b -> a'=a

Si reemplazamos en (1) y (2) y hacemos (1)-(2) vemos que satisface la condición.

Para hallar los resultados le tenemos que dar valores a c del 0 al 8 ya hallar a+b, como hizo alexandermonday.

Finalmente queda otra posibilidad que es:
D) si d<9 -> d'=d+1 -> c'=c+1 -> b'=b+1 -> a'=a+1
Si reemplazamos en (1) y (2) y hacemos (1)-(2) nos da: a-(a)+b-(b)+c-©+d-(d+1)=8-> -1=8 NO VALE este grupo tampoco.

En conclusión el único grupo de valores posibles es el C) dando como resultado las combinaciones que encontró alexandermonday.

Espero esté entendible el razonamiento.
10-08-2012 01:15
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Mensaje: #5
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Que capos!! Muy buena respuesta alexander!

Oh
10-08-2012 02:18
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juanpat007 Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Gracias chicos, son 2 capos pero tengo que elegir la respuesta de Alexandermonday porque se lo tengo que explicar a mi haja de 11 años.
Si no es mucha molestia aca van 2 mas:

Ejercicio 2:
Ana tiene 91 cubos de arista 1.
Usando todos o algunos de sus cubos, quiere hacer torres donde cada piso sea un cuadrado sin huecos, más chico que el cuadrado del piso anterior.
Además, en el último piso de cada torre tiene que haber un solo cubo.
¿De cuántas maneras puede hacerlo? Mostrar todas las posibilidades.
¿Puede hacer torres sin que le sobre ningún cubo? ¿Cuáles?

Ejercicio 3:
En un torneo de ping pong participan jugadores de dos clubes: Club Grande y Club Chico. Cada jugador juega exactamente un partido contra cada uno de los otros (de su club y del otro club).
Se sabe que:
• Club Grande tiene 9 jugadores más que Club Chico.
• La cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Grande es igual a 9 veces la cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Chico.
Determinar la mayor cantidad de partidos ganados que puede tener un jugador de Club Chico.
ACLARACIÓN: En el ping pong no hay empates.
10-08-2012 08:58
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brunodiaz Sin conexión
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Mensaje: #7
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Estoy muy orgulloso que el foro interprete el programa de alexander y tire el resultado
10-08-2012 11:49
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alexandermonday Sin conexión
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Mensaje: #8
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Ejercicio 2:
Ana tiene 91 cubos de arista 1.
Usando todos o algunos de sus cubos, quiere hacer torres donde cada piso sea un cuadrado sin huecos, más chico que el cuadrado del piso anterior.
Además, en el último piso de cada torre tiene que haber un solo cubo.
¿De cuántas maneras puede hacerlo? Mostrar todas las posibilidades.
¿Puede hacer torres sin que le sobre ningún cubo? ¿Cuáles?

Rta:
- por el texto la torre al menos debe tener dos pisos.
- el ultimo piso emplea 1 cubo.
- los posibles pisos sucesivos tienen de lado 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; y cada uno de estos pisos emplean 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 cubos respectivamente.
- hacer combinatorias con esos cuadrados cuya suma no supere 90 .
- en ningun momento dice que el sobrante debe ser menor a un piso. Es decir, podes indicar que construiste una torre de dos pisos con 5 cubos. : 1 cubo + 4 cubos .

Hay que encontrar una metodologia para no perderte ninguna combinacion.
OBS: La proxima metodologia es dura: realiza todas las combinaciones y realiza las sumas que a simple vista superan los 91 cubos

- Se me ocurre emplear codigo binario de 8 digitos que vaya de 0000 0000 a 1111 1111
- donde cada posicion de cada bit esta ponderada con los cuadrados de los posibles pisos 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 .
- un uno , indica que se debe sumar el cuadrado que representa esa posicion.
- un cero , indica que NO se suma el cuadrado que representa esa posicion.
Ejemplo 1110 0000 representa a la torre formada por 1 cubo (siempre) , seguida por los pisos de 4 , 9 y 16 cubos. Totalizan 30 cubos.
- Si la suma da igual a 90 , son las torres que emplean los 91 cubos.
- Si la suma da menos que 90 , se agrupan en las torres posibles.
- Si da mas que 90 , se descarta.

Con este metodo obtenes todas las posibilidades sin perderte de ninguna. ( pero hay que hacer 255 sumas... ;) )
Igual este metodo nos puede servir para pensar uno mas refinado , sin hacer sumas inutiles: Ejemplo , no habra una torre 0000 0011 , porque seria la suma de los pisos 1 + 64 + 81 , que superan los 91 cubos.

Saludos!
Ale.

Aca esta el codigo en php , hace clic en compilar y ejecutar el codigo Gracias a Bruno!! (no lo dije la vez anterior)
Resultados: 57 torres posibles ; 3 torres que emplean los 91 cubos.
Saludos!



<?
for( $i = 2 ; $i < 10 ; $i++ )
{
$pisos_cubos[]= $i * $i ;
}
$lin=0 ;
for( $n=1 ; $n <= 255 ; $n++ )
{
//siempre esta el ultimo piso con 1 cubo.
$cant_cubos = 1 ;
$pisos_involucrados = "1" ;
//
$s_bin = sprintf("%08b",$n ) ;
//echo "##".$s_bin."##" ;
for( $i = 0 ; $i < 8 ; $i++ )
{
if( substr($s_bin,$i,1) == "1" )
{
$cant_cubos += $pisos_cubos[$i] ;
$pisos_involucrados .= " ".$pisos_cubos[$i] ;
}
}
if( $cant_cubos <= 91 )
{
$lin++ ;
printf("#%02d CantCubos=%2d ",$lin,$cant_cubos) ;
printf("%s",($cant_cubos==91?" !!!":" ")) ;
printf(" pisos= %s\n",$pisos_involucrados) ;
}
}
?>


(Este mensaje fue modificado por última vez en: 10-08-2012 20:46 por alexandermonday.)
10-08-2012 20:07
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brunodiaz Sin conexión
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Mensaje: #9
RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
Jajaja, no era porque esperaba agradecimiento, es que me emociona verlo en uso
Pasa que los graficos no los usa nadie =(
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 10-08-2012 22:21 por brunodiaz.)
10-08-2012 22:20
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RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
x y
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 11-08-2012 17:00 por alexandermonday.)
11-08-2012 16:57
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RE: Ejercicio olimpiadas matematicas
La resolución de alexander me reconce numeros de telefono para el skype =P

Oh
12-08-2012 16:12
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