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El bendito término complementario de Lagrange...
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pablit Sin conexión
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Mensaje: #1
El bendito término complementario de Lagrange... Ejercicios Análisis Matemático I
Hola gente, tengo una duda con este ejercicio y no sé si está bien resuelto (me refiero tanto al método como al contenido)...

El ejercicio es el siguiente:
   

Me podrían dar una mano?


Desde ya, gracias!
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(Este mensaje fue modificado por última vez en: 30-07-2013 20:20 por pablit.)
01-06-2013 01:04
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chimaira Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Un ejercicio de Taylor, con el error...
Que yo recuerdo la idea de hacer un polinomio de Taylor es aproximar a la función en un entorno reducido del punto. Con lo cual se me ocurre que si vos querés calcular e^(1/2) deberías acercarte más a 1/2 y no desarrollar en potencias de (X-0)^n.

¿Cuánto? No estoy seguro... porque de seguro que si vos armás el polinomio con potencias de (X-1/2)^n se te van a cancelar todos los términos.

Intuyo que debería pasar que si por ejemplo vos desarrollás el polinomio en torno a 1/4 que está más cerca de 1/2 que 0, el polinomio va a necesitar menos términos para aproximar el cálculo que vós querés hacer.

Por otra parte, resolver las derivadas de e^x cuando x es igual a 0, es mucho más simple, porque el valor ya lo conocés por defecto. Entonces visto de esa lado capaz la idea esté bien, porque en definitiva es más fácil de calcular sin necesidad de andar haciendo otra cosa extra.

Pero, si yo no mal recuerdo y no me equivoco, la moraleja es lo que te conté antes. Cuanto más te aproximes al punto donde vos querés evaluar tu función, mejor debería ser la aproximación y menor cantidad de términos deberías utilizar

[Imagen: firma-2.jpg]
01-06-2013 01:35
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pablit Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Un ejercicio de Taylor, con el error...
Claro, está hecho así a propósito, porque es "la más fácil" =P

(01-06-2013 01:35)chimaira escribió:  [...] Cuanto más te aproximes al punto donde vos querés evaluar tu función, mejor debería ser la aproximación y menor cantidad de términos deberías utilizar

No... si más me quiero aproximar, más términos debo usar.


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01-06-2013 02:38
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Taylor Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: Un ejercicio de Taylor, con el error...
Lo que hiciste está perfecto! thumbup3

Pero difiero en lo que decían mas arriba, mientras mas exacto quieras ser en tu aproximación, mayor es la cantidad de operaciones que vas tener que hacer. Porque estas armando un polinomio, que en la realidad, nunca va a estar completamente "acostado" sobre la ecuación original, solamente cuando tengas infinitos términos, ahí recién vas a poder aproximarte lo suficiente.

El otro tema a razonar, es que estamos en presencia de un número trascendental, así que por más operaciones que quieras hacer, el polinomio siempre va a tener un error por más mínimo que sea.

Mas allá de todo esto, el cálculo hecho está perfecto.

PD: Si tenes alguna duda, preguntá

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-06-2013 10:34 por Taylor.)
01-06-2013 10:33
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[-] Taylor recibio 1 Gracias por este post
pablit (01-06-2013)
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Mensaje: #5
RE: Un ejercicio de Taylor, con el error...
(01-06-2013 10:33)Taylor escribió:  Lo que hiciste está perfecto! thumbup3

Pero difiero en lo que decían mas arriba, mientras mas exacto quieras ser en tu aproximación, mayor es la cantidad de operaciones que vas tener que hacer. Porque estas armando un polinomio, que en la realidad, nunca va a estar completamente "acostado" sobre la ecuación original, solamente cuando tengas infinitos términos, ahí recién vas a poder aproximarte lo suficiente.

El otro tema a razonar, es que estamos en presencia de un número trascendental, así que por más operaciones que quieras hacer, el polinomio siempre va a tener un error por más mínimo que sea.

Mas allá de todo esto, el cálculo hecho está perfecto.

PD: Si tenes alguna duda, preguntá

Perfecto entonces, muchísimas gracias!


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01-06-2013 15:10
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chimaira Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: Un ejercicio de Taylor, con el error...
(01-06-2013 02:38)ps92 escribió:  Claro, está hecho así a propósito, porque es "la más fácil" =P

(01-06-2013 01:35)chimaira escribió:  [...] Cuanto más te aproximes al punto donde vos querés evaluar tu función, mejor debería ser la aproximación y menor cantidad de términos deberías utilizar

No... si más me quiero aproximar, más términos debo usar.

Yo no dije eso... O al menos no fue la idea o me malinterpretaste o no se jajajajaja

Lo que yo quise decir es que, en teoría, si vos hacés una expansión de Taylor centrada en un punto particular, cuando más cerca ese punto este del que vos querés estudiar menos términos necesitas. Así entonces, teóricamente un Polinomio de Taylor centrado en X = 0.25 es mejor para aproximar e^0.5 que un polinomio de Taylor centrado en X = 0, simplemente porque 0.25 es más próximo a X = 0.5 que X = 0.

Y si yo no me supe explicar, te subo una fotito, porque una imagen vale más que mil palabras jajajajaja

e^0.5 es aprox 1.6487

Las gráficas corresponden todas a Polinomios de Taylor de Orden 3 pero con distinto centro

La roja => centro en 0
La azul => centro en 0.25
La verde => centro en 0.35
La magenta => centro en 0.45

Fijate que conforme una desarrollo su polinomio en un punto más cercano al punto de estudio, para este caso X = 0.5, la función se aproxima mejor, si comparamos todos polinomios del mismo orden. O bien, cuanto más cerca estemos del punto, menos términos necesitamos para aproximar mejor.

   

[Imagen: firma-2.jpg]
01-06-2013 21:42
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Mensaje: #7
RE: Un ejercicio de Taylor, con el error...
Taylor hablando de su polinomio =D
03-06-2013 23:03
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Mensaje: #8
RE: Un ejercicio de Taylor, con el error...
Taylor , ayuda

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03-06-2013 23:16
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Mensaje: #9
RE: El bendito término complementario de Lagrange...
no entendi porque reemplazaste f^(n+1)*(TITA) por e^(TITA)


en el segundo renglon cuando estas usando la formula del error


pd:creo que el simbolo que usaste es tita por ahi me equivoco
19-09-2014 13:02
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