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0 en 0 posts · 02-02-2012 16:51

Hola, tengo un duda con un problema de induccion matematica que no lo puedo sacar.
17ⁿ-8ⁿ es divisible por 9.
Tengo el lunes recup y no se induccion.

49 en 41 posts · 02-02-2012 17:30

A ver si me acuerdo...

1) hay que probar con n=1

17^1-8^1 = 9, que es divisible por 9.

2) hay que probar que: si se cumple para n => se cumple para n+1

17^n-8^n es div por 9 => 17^(n+1)-8^(n+1) es div por 9

Uso la definicion de divisibilidad:

17^n-8^n= 9k => 17^(n+1)-8^(n+1) = 9k

De ahi creo que habia que meter la tesis en la hipotesis...si alguno se acuerda bien que lo continue. Se entiende?

0 en 0 posts · 02-02-2012 17:52

Hasta ahi venia perfecto pero yo tampoco me acuerdo como seguirlo.. Gracias igual

49 en 41 posts · 02-02-2012 21:21

$17^n-8^n= 9k_{1} => 17^{n+1}-8^{n+1} = 9k_{2}$

Ahi se me ocurre pasar

$17^{n+1}-8^{n+1} = 9k_{2}$

a

$17^{n}.17-8^{n}.8 = 9k_{2}$

Pero despues no se como seguir...

Expertos en discreta? Donde andan?

43 en 36 posts · 02-02-2012 22:52

Te tiro unos tips porque no estoy seguro de como hacer que todo funcione

Ya pasó un tiempito desde que hice discreta, capaz vos que la tenés más fresca puedas encontrar la forma para que todo ande.

Mirá, creo que puede ser útil que sepas lo siguiente:

Si p y q son divisibles por un número k, entonces p+q también es divisible por ese número k.

Ahora con este pequeño dato, la movida viene algo así:

$17^{n}-8^{n}=9k_{1} \wedge 16\times 17^{n}-7 \times 8^{n}=9k_{2} \Rightarrow$
sumando miembro a miembro obtenés
$17^{n}-8^{n}+16\times 17^{n}-7 \times 8^{n}=9k_{1}+9k_{2} \Rightarrow$
$17\times 17^{n}-8 \times 8^{n}=9(k_{1}+k_{2}) \Rightarrow$
$17^{n+1}-8^{n+1}=9(k_{1}+k_{2}) \Rightarrow$
$17^{n+1}-8^{n+1}=9k$

Estoy casi seguro que la mano viene por este lado, el problema está en suponer que $16\times 17^{n}-7 \times 8^{n}$ también es divisible por 9, y ahí es donde falla mi razonamiento, al margen de que probando un par de numeritos da que es divisible.

Espero te sirva, y por sobre todo espero no haber mandado la fruta del siglo (?)

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