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[Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
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Mensaje: #1
[Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos Ejercicios Matemática Discreta
Sé que el orden del subgrupo es el cardinal, pero no tengo idea de cómo relacionar los datos para resolver el ejercicio.

1.18 Un grupo G tiene subgrupos H y K. Encontrar todos los posibles órdenes de H∩K, para cada uno de los siguientes casos:

a)|H|=16, |K|=20
b)|H|=|K|=7
c)|H|=3,|K|=5
d) Si |G|=24 y |H|=4, ¿Cuáles son los posibles órdenes para el cardinal de K?


Las respuestas no están, porque es de la guia, en uno de los finales aparecía en un verdadero/falso pero en la respuesta sólo hay un contraejemplo, asi que no me sirve para aprender el método...
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-08-2010 18:25 por Anirus.)
01-08-2010 18:24
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gonnza Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
AH ESTE LO HICE Y PRESTE LA CARPETA LPM !!!
CHUWACA DEVOLVEMELA !!! jaja
espra que apelo a mis recuerdos.. estoy escribiendo..
Esto es relativo, apelo a memoria, no estoy 100% seguro.. si tuviera mi carpeta a mano te lo confirmo, pero no me la devuelven, ni respoden mis msj =(
(eso pasa por prestarla a gente del foro whip )

Hay una propiedad que dice que el cardinal de los subgrupos es divisor del cardinal del grupo.
Ponele que tu grupo tiene cardinal 10, entonces los subgrupos podran tener cardinal 10, 5, 2 ó 1.
En este caso aplicas eso: la interseccion tendra que ser un subrupo de ambos; por lo que debera ser divisor de ambos subgrupos (que asu vez son grupos, por eso se aplica esta propiedad)
en a) Los posibls cardinales son 1,2,4 y creo que ninguno mas (si no me comi algun divisor de 16 y 20 =P )
b) 1 y 7
c) 1
d) Aca viene la trampita: sabes que el grupo mayor es de cardinal 24, y el grupo H tiene cardinal 4; Vos H lo podes intersecar con K que tendra cualqueir cardinal divisor de 24, asique los posibles cardinales de K seran los divisores de 24. Si te dieran algun valor para H∩K, ahi tenes que buscar de los divisores de 24, aquellos que tambien sean divisores del valor de cardinal de H∩K.

Creo que es asi, si alguien lo corrobora mejor thumbup3

[Imagen: v34BEFt.gif]
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01-08-2010 18:26
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Mensaje: #3
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
Yo hice en un final un ejercicio parecido al d, y lo saqué con el teorema de lagrange.

Creo qeu es el único teorema qeu te puede llegar a servir para eso.

Supongamos el ejercicio a, si |H|=16 y |K|=20, entonces la intersección tendrá a lo sumo 16 elementos. (tendrá <=16 elementos). Además, el cardinal de la intersección, por ser subgrupo, debería dividir al cardinal del grupo principal. Entonces tiene que dividir a lo sumo al m.c.d. entre 16 y 20 (que es el minimo posible cardinal de G), en este caso 80. Entonces los posibles cardinales serían, a mi criterio: 1,2,4,5,8,10,16

Lo que no entiendo es lo que dice gonza cuando dice que la intersección debería ser subgrupo de ambos subgrupos. Porqué?

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Mensaje: #4
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos

Off-topic:
Pienso si ese chewbacca sera el mismo que yo conozco =P
01-08-2010 18:55
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Mensaje: #5
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
O sea, la intersección de dos subgrupos, lo mas chico que puede dar es el neutro (cardinal 1), y este sería subgrupo en si mismo. Pero la intersección de dos subgrupos siempre va a ser subgrupo de ambos?

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Mensaje: #6
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos

Off-topic:
es uno colorado todo peludo y alto =P por eso le dicen chewbacca. Vino de la Uba. Lo ubicas ?



Lean, dije que apelaba a mis recuerdos. Puede ser que olimpicamente le pifiara y ahora que veo lo tuyo esta bien.
Tu error:
Cita:a lo sumo al m.c.d. entre 16 y 20 (que es el minimo posible cardinal de G), en este caso 80.
Eso es el mcm =D el MCD es 4
asique los divisores del mcd son 1,2,4 (llos que dije yo =D).
No me acordaba el teorema jajajaj =P pero sabia que tenian que dividir a ambos grupos que se intersectan, y ademas al grupo mayor.

Cita:Lo que no entiendo es lo que dice gonza cuando dice que la intersección debería ser subgrupo de ambos subgrupos. Porqué?
Ahora me hiciste dudar =P pero en la interseccion va a haber elementos comunes a H y a K (que se intersectan).
Por lo tanto esta incluido en H y en K. Como H∩K es un grupo, y H es grupo, y K es grupo, y H∩K grupo incluido en esos 2 grupos, entonces H∩K es subgrupo de H y de K

Asique empece a leer, pense que habia fumado cualquiera, y ahora que relei habia explicado bien, me faltaba el nombre del teorema =P

[Imagen: v34BEFt.gif]
01-08-2010 19:01
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Mensaje: #7
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
(01-08-2010 18:26)gonnza escribió:  AH ESTE LO HICE Y PRESTE LA CARPETA LPM !!!
CHUWACA DEVOLVEMELA !!! jaja
espra que apelo a mis recuerdos.. estoy escribiendo..
Esto es relativo, apelo a memoria, no estoy 100% seguro.. si tuviera mi carpeta a mano te lo confirmo, pero no me la devuelven, ni respoden mis msj =(
(eso pasa por prestarla a gente del foro whip )

Hay una propiedad que dice que el cardinal de los subgrupos es divisor del cardinal del grupo.
Ponele que tu grupo tiene cardinal 10, entonces los subgrupos podran tener cardinal 10, 5, 2 ó 1.
En este caso aplicas eso: la interseccion tendra que ser un subrupo de ambos; por lo que debera ser divisor de ambos subgrupos (que asu vez son grupos, por eso se aplica esta propiedad)
en a) Los posibls cardinales son 1,2,4 y creo que ninguno mas (si no me comi algun divisor de 16 y 20 =P )
b) 1 y 7
c) 1
d) Aca viene la trampita: sabes que el grupo mayor es de cardinal 24, y el grupo H tiene cardinal 4; Vos H lo podes intersecar con K que tendra cualqueir cardinal divisor de 24, asique los posibles cardinales de K seran los divisores de 24. Si te dieran algun valor para H∩K, ahi tenes que buscar de los divisores de 24, aquellos que tambien sean divisores del valor de cardinal de H∩K.

Creo que es asi, si alguien lo corrobora mejor thumbup3
Gracias, no se me había ocurrido usar el teorema de lagrange ^^

(01-08-2010 18:51)Lean escribió:  Lo que no entiendo es lo que dice gonza cuando dice que la intersección debería ser subgrupo de ambos subgrupos. Porqué?
Por ser intersección está incluida en ambos subgrupos a la vez, el elemento neutro pertenece a las dos así que también está en la intersección, si tienen más elementos comunes van a ser elementos que permitan que la operación sea cerrada y si no me equivoco la propiedad asociativa se heredaba porque son los mismos elementos con la misma operación, asi que es subgrupo. (a menos que yo haya inventado propiedades xD)
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-08-2010 19:04 por Anirus.)
01-08-2010 19:03
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Mensaje: #8
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
(01-08-2010 18:59)Lean escribió:  O sea, la intersección de dos subgrupos, lo mas chico que puede dar es el neutro (cardinal 1), y este sería subgrupo en si mismo. Pero la intersección de dos subgrupos siempre va a ser subgrupo de ambos?

Lo estas viendo mal, lean. La interseccion mas chica es el neutro, pero va a ser subgrupo del grupo mayor (puesto que es grupo, y ademas esta incluido en el grupo mayor).
Ademas tambien esta incluido en H y en K (los que se intersecan) asique si, estara incluido en ambos. Y ademas es grupo. y H y K grupos. Asique el neutro es subgrupo de ellos =P

[Imagen: v34BEFt.gif]
01-08-2010 19:04
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Mensaje: #9
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
Si, quise decir m.c.m, ese es el mínimo posible cardinal de G. Los demás posibles son todos comunes múltiplos de 16 y 20.

Porqué H∩K es grupo? eso es lo que no entiendo.

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01-08-2010 19:05
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Mensaje: #10
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
Cita:Por ser intersección está incluida en ambos subgrupos a la vez, el elemento neutro pertenece a las dos así que también está en la intersección, si tienen más elementos comunes van a ser elementos que permitan que la operación sea cerrada y si no me equivoco la propiedad asociativa se heredaba porque son los mismos elementos con la misma operación, asi que es subgrupo.
Si, la asociatividad se hereda, al igual que la conmutatividad... Ayy, discretaa jajaaj que recuerdos.. roll
(01-08-2010 19:05)Lean escribió:  Si, quise decir m.c.m, ese es el mínimo posible cardinal de G. Los demás posibles son todos comunes múltiplos de 16 y 20.

Porqué H∩K es grupo? eso es lo que no entiendo.

Agarra H grupo, agarra K grupo, y proba que H∩K (asi de manera general). Vas a ver que cumple con todas las definiciones de grupo.
Si me acordara las condiciones para que sea grupo... roll
Ojo che, mira que esto lo toman en final (esa demostracion) asique te vendria piola saberla.
Cita:Si, quise decir m.c.m, ese es el mínimo posible cardinal de G. Los demás posibles son todos comunes múltiplos de 16 y 20.
Ah, ahora me haces dudaar de nuevo.. Mmmmm necesito que el peludo me devuelva la carpeta...
Era la gloria de Discreta jajaj tenia el %90 de la guia bien resuelta =)

[Imagen: v34BEFt.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-08-2010 19:08 por gonnza.)
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Mensaje: #11
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
Cita:Agarra H grupo, agarra K grupo, y proba que H∩K (asi de manera general). Vas a ver que cumple con todas las definiciones de grupo.
Si me acordara las condiciones para que sea grupo... roll
Ojo che, mira que esto lo toman en final (esa demostracion) asique te vendria piola saberla.

Condiciones para ser grupo:
1)Operación cerrada en ese conjunto.
2)Propiedad asociativa.
3)Neutro.
4)Todos los elementos deben tener simétrico.

Condiciones para ser subgrupo (hay dos formas de probarlo)
A)
1)Que esté incluido en el grupo.
2)Que sea un grupo.

B)
1)Que esté incluido en el grupo.
2)Que sea distinto del conjunto vacío.
3) Probar que si a,b pertenecen a H , entonces a*b' también.

Cita:Ah, ahora me haces dudaar de nuevo.. Mmmmm necesito que el peludo me devuelva la carpeta...
Era la gloria de Discreta jajaj tenia el %90 de la guia bien resuelta =)
Si H∩K|H ^ H|G => H∩K|G
H∩K|K ^ K|G => H∩K|G
Asi que con que divida a los subgrupos, ya divide al cardinal del grupo, que por ser dividible por H y por K, es multiplo de éstos, y por eso dividide al mcm (el cual por definicion de mcm divide a todos los multiplos más grandes,asi que no importa si G tenia un cardinal mayor al mcm)
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-08-2010 19:21 por Anirus.)
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Mensaje: #12
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
Si, soy un boludo, es más, lo probé hace 3 días, que rápido que me olvido todo :/

Las condiciones para uqe algo sea subgrupo son:

1) H != vació
2) H incluído en G
3) Para todo a,b pertenecientes a H, a*b' pertenece a H

Entonces se prueba que L=H∩K es subgrupo de H y de K diciendo:

1) el neutro pertenece asi que no es vacío
2) por definición de intersección de subconjuntos de G, L está incluído en G
3) para todo x, y pertenecientes a L:

(x pertenece a H ^ x p ertenece a K) ^ (y pertenece a H ^ y pertenece a K)
(x pertenece a H ^ y pertenece a H) ^ ( x p ertenece a K ^ y pertenece a K)
entonces
x*y' pertenece a H y x*y' pertenece a K (porque son subgrupos)


entonces x*y' pertenece a L

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Mensaje: #13
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
Sabemos que H y K son grupos. asique probamos

1)Que esté incluido en el grupo.
2)Que sea distinto del conjunto vacío.
3) Probar que si a,b pertenecen a H , entonces a*b' también.

1) H grupo; K grupo--> Los operamos y H∩K; Para probar que esta incluido tenemos que probar que si tenemos un elemento incluido en H∩K--> Incluido en H y en K.
Si x pert H∩K ---> x pert H (por def de ∩) Entonces H∩K incluido en H
Si y pert H∩K ---> y pert a K (por def de ∩) Entonces H∩K incluido en K.
A su vez, H y K incluidos en grupo G (el grupo mayor) asique por transitividad de ∩ H∩K esta incluido en grupo G. Asique es Subrupo de G
2) H grupo; K grupo; H∩K sera la interseccion donde sera AL MENOS el subrgrupo trivial H∩K={e} (osea el neutro). Pues e pert H (por ser grupo) y e pert K (por ser grupo) asique e pert H∩K (y entonces H∩K distinto de vacio). Aca si les diesen un caso particular en el que probar que la interseccion no es vacia, ponen un ejemplo y listo =P
3) Ayy, esta ultima no me laa acuerdo bien.. xD

Creo que era algo como:

a,b pert H∩K --> a*b pert H∩K; pero como H∩K es en si un grupo, sabemos que todo elemento tiene su simetrico; entonces si b pert H∩K --> b' pert H∩K
asique si a pert H∩K y b' pert H∩K ---> a*b' pert H∩K

la primera parte de esta es para aclarar que con 2 elementos de un grupo , con el simple heecho de pertenecer al grupo podes operarlos, pero nose si esnecesario xD ya me maree =P

Entonces, probamos que H∩K es grupo en si mismo, que esta incluido en el grupo mayor, que es distinto de vacio, y la otra propiedad =P

asique H∩K es grupo, subgrupo de G =)

Reitero, apelo a mi memoria, corroboren =P
A caguense todos, escribo al pedo xD
me sacan tiempo de AM2 para que los ayude al pedo =P

[Imagen: v34BEFt.gif]
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Mensaje: #14
RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
Otra cosa linda para probar por Lagrange:

Si G es finito de orden n, y H es un subgrupo de G, de orden m, entonces m<=n

Ésto yo lo probé diciendo que, como m|n, por definición de divisibilidad m<=n

O sea, como n = m.k, con k perteneciente a N (en este caso, porque un cardinal nunca puede ser negativo), entonces m<=n

Estará bien?

PD: Esto de responder los 3 a la vez nos llevó a que los 3 respondieramos lo mismo xD

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RE: [Matemática discreta] Orden de la intersección de subgrupos
si, creo que esta bien
Estas afilado eh jaja
QUIERO MI CARPETA !!!!!! XDDDD

[Imagen: v34BEFt.gif]
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