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subgrupos de Inversibles de z14 (inv z14;*)
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Turki Sin conexión
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Mensaje: #1
subgrupos de Inversibles de z14 (inv z14;*) Dudas y recomendaciones Matemática Discreta
Hola, quería consultarles como obtener los subrugos de inv z14 con la multiplicación usual.

Tengo que inv z14 es un grupo, luego de que construí la tabla que quedó asi:

* 1_3_5_9_11_13
1 1_3_5_9_11_13
3 3_9_1_13_5_11
5 5_1_11_3_13_9
11 11_5_13_1_9_3
13 13_11_9_5_3_1

como obtengo, los subgrupos, y los generados si es que tiene?
Porque me quedan dudas, para z14 lo que hacia era, cantidad de subgrupos |D14| O sea, 4, los cuales son {1,2,7,14}, luego operaba estos consigo mismo y me daban los subgrupos, y los generadores para mi eran los invz14 {1,3,5,9,11,13}, pero en este caso, no se cómo hacer.

" Si le ves los dientes al león no vayas a creer que te está sonriendo"
12-12-2015 19:23
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hernanfpp Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: subgrupos de Inversibles de z14 (inv z14;*)
Para sacar los subgrupos (Hn) tenes que sacar los generadores (Se marcan así < >) y por lo tanto tenes que saber cual es el elemento neutro. En este caso es el 1.

Tenes que ir combinando columna con la fila hasta llegar al elemento neutro. (El numero de la columna lo mantenes mientras que el de la fila lo vas alternando en base al numero que encuentres)

Explicado asi parece complicado pero te voy a hacer este ejemplo.
<1> = 1 con 1 da 1. ya llegaste al elemento neutro entonces <1> = {1}

<3> = 3 con 3 da 9. (Como no es el neutro sigo) 3 con 9 da 13. 3 con 13 da 11. 3 con 11 da 5. 3 con 5 da 1. como llegamos al neutro decimos que <3> = {3,9,13,11,5,1}

<5> = 5 con 5 da 11. 5 con 11 da 13. 5 con 13 da 9. 5 con 9 da 3. 5 con 3 da 1. <5> = {5,11,13,9,3,1} = <3>

<9> = 9 con 9 da 11. 9 con 11 da 1. <9> = {9,11,1}

<11> = 11 con 11 da 9. 11 con 9 da 1. <11> = {11,9,1} = <9>

<13> = 13 con 13 da 1. <13> = {13,1}

Para los subgrupos solamente les tenes que asginar a cada uno de los generadores un Hn (n es la cantidad que hay, si hay uno que genera a todos como el caso de 5 se especifica poniendo A ó G depende de como este puesto en el enunciado)

Espero que lo hayas podido entender, no soy muy bueno explicando por eso te deje hecho el ejercicio.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 12-12-2015 20:19 por hernanfpp.)
12-12-2015 20:15
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Cuyé (15-12-2015), Turki (06-02-2016)
aguspovi Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: subgrupos de Inversibles de z14 (inv z14;*)
Los generadores son aquellos numeros del conjunto que los operas consigo mismos una cantidad x de veces y obtenes todos los elementos.
No necesariamente todos generan todo, por eso hay valores que generan algo que no es todo el conjunto, y ese ALGO son los subgrupos.

Acá usas la multiplicacion como la operacion, entonces operemos cada numero consigo mismo:

Empecemos con el 1:
1x 1 = 1
Si al resultado lo opero nuevamente con el 1, obtengo otro 1 y asi sucesivamente. Entonces lo generado por el 1 es solamente {1}

Vamos ahora con el 3:
3 x 3 = 9 [entonces el 3 genera al 9]
9 x 3 = 27 (el 27 no esta dentro de los resultados posibles, entonces le restamos 14 o un múltiplo de este, para que caiga dentro del rango 1;13 que tenemos) => 27-14= 13 [entonces el 3 genera al 13]
13 x 3 = 39 (idem 27. Nada mas que ahora vamos a tener que restar 14 dos veces) => 11 [el 3 genera tambien al 11]
11 x 3 = 33 (le sacamos 14 dos veces) => 5 [tambien genera al 5]
5 x 3 = 15 (restamos 14) => 1 [genera al 1]
1 x 3 = 3 [tambien se genera a si mismo]
Ahora, si multiplicamos otra vez 3x3, empezamos este ciclo de nuevo, entonces ahi tenemos que dejar de buscar lo que genera.

Con todo lo que tenemos arriba, vemos que el 3 genera a todos los elementos!!! En este caso es un generador.
Para los otros numeros, haces el mismo procedimiento y cortás cuando ves que el ciclo de operaciones empieza de nuevo.
Y se escribiría así: <3> = {1,3,5,11,13}
12-12-2015 20:21
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Cuyé (15-12-2015), Turki (06-02-2016)
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Mensaje: #4
RE: subgrupos de Inversibles de z14 (inv z14;*)
Chicos, muchas gracias a los dos, con Hernan entendí como sacar los subgrupos y los generadores, y con Agus, como hacer la tabla mucho más rápido, porque estaba tardando una eternidad.

" Si le ves los dientes al león no vayas a creer que te está sonriendo"
06-02-2016 18:00
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