UTNianos

Hola, chicos, ¿que tal?
Venía con algunas dudas de si vengo haciendo bien estos ejercicios, porque los tengo que entregar correctos. Vamos a empezar con el que más dudas me da, que es de optimización:

"Sea la curva xy=1, hallar las coordenadas de los puntos de la curva más proóximos al origen de coordenadas. Justifique su respuesta"

A mí me comentaron que existen coordenadas, pero yo no las encuentro.
Yo lo que hago es que, partiendo de que tiene que estar próximo al origen, tendría que ser un extremo mínimo. Entonces derivo dos veces:

\[xy=1\]
\[xy-1=0\]

derivo:
\[1.y+x.{y'}=0\]
\[y+x.{y'}=0\]
\[x.{y'}=-y\]
\[{y'}=\frac{-y}{x} \Rightarrow \textbf{derivada primera}\]

saco la derivada segunda:
\[\frac{-y}{x}\Rightarrow\frac{-{y'}x-(-y).1}{(-y)^{2}}=\frac{-{y'}x+y}{y^{2}}\]
\[\frac{-{y}'x}{y^{2}}=\frac{-y}{y^{2}} \Rightarrow \frac{y'x}{y^{2}} = \frac{y}{y^{2}} \Rightarrow y^{2}.y = y^{2}.(y'x) \Rightarrow \frac{y^{2}.y}{y^{2}}=y'x\]
\[Luego, y=y'x \Rightarrow {y}''=\frac{y}{x} \Rightarrow \textbf{derivada segunda}\]


La cuestión es que igualo la derivada primera a cero, y no me arroja más que y=0.
Reemplazo en la segunda ecuación, donde la derivada segunda debe ser mayor a cero, y con y=0 arroja cero. Para mí no existen coordenadas, pero no tengo ningún resuelto similar como para que me ayude a pensar un poco mejor el planteo

Gracias de antemano!

Este es el 1er parcial del curso de verano resuelto. El ultimo ejercicio es del tipo que estas planteando.



Espero te sirva, saludos.

No, no es así. Justamente es en un problema de optimización donde se trabaja con una sola variable.

Para ello vos tenés \[xy=1\].

Luego te dice "hallar las coordenadas de los puntos de la curva más proóximos al origen de coordenadas".
Ahí básicamente te está hablando distancias. Y como se trata de, en este caso, encontrar los ptos. más cercanos a la curva dada, lo que tendrías que hacer es minimizar:

\[f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\]

De la curva obtenés la relación: \[y=\frac{1}{x}^{(1)}\].

Reeamplzás \[^{(1)}\] en \[f\]:

\[f(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{\frac{x^4+1}{x^2}}\]

Derivás:

\[f'(x)=\frac{x-\frac{1}{x^3}}{\sqrt{\frac{x^4+1}{x^2}}} \to f'(x)=0\]

Realizando las cuentas necesarias llegás a \[|x|=1\].

Ahora buscás la derivada segunda (eso te lo dejo a vos porque por acá te voy a terminar diciendo cualquier cosa). Luego reemplazás en la derivada segunda al valor hallado (\[x=1\]). Debería darte \[f''(1)>0\] para tratarse de un mínimo. Bueno, si llegás a esa conclusión, como \[y=\frac{1}{x}\] entonces las coordenadas buscadas son:

\[P_1=(1,1)\]

Y otro punto posible es \[P_2=(-1,-1)\]

maty tiene razon esa es la respuesta(yo lo hice bien ese ejercicio!) , enrealidad tambien pudiste haber usado en vez de la derivada de uan raiz derivar directamente x^2 + 1/x^2 como explico tu profe en clase... no viste los puntos por que no graficaste la homografica.

Una pregunta de donde sale:

\[\sqrt{x^2+y^2}\] ?

(19-02-2012 16:44)Feer escribió: [ -> ]Una pregunta de donde sale:

\[\sqrt{x^2+y^2}\] ?

formula de distancia con los puntos (0,0) y (x,y)

(19-02-2012 16:44)CarooLina escribió: [ -> ]maty tiene razon esa es la respuesta(yo lo hice bien ese ejercicio!) , enrealidad tambien pudiste haber usado en vez de la derivada de uan raiz derivar directamente x^2 + 1/x^2 como explico tu profe en clase... no viste los puntos por que no graficaste la homografica.

Mmm y por qué tomar la función eliminando la raíz? No entiendo, será porque mis neuronas están a punto de estallar Jaja

(19-02-2012 16:44)Feer escribió: [ -> ]Una pregunta de donde sale:

\[\sqrt{x^2+y^2}\] ?

Lo que pide el ejercicio es hallar la mínima distancia existente entre la curva \[xy=1\] y el origen de coordenadas. Entonces \[\sqrt{x^2+y^2}\] no es más que la ecuación necesaria para hallar dicha distancia.

\[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_o)^2} \to x_0=0 \wedge y_0=0 \to \sqrt{x^2+y^2}\]

Mira vos, si me la nombraron en algún momento no me la acordaba, gracias.

(19-02-2012 16:52)Feer escribió: [ -> ]Mira vos, si me la nombraron en algún momento no me la acordaba, gracias.

Wesaaa!


Ah ya entendí, había cazado cualquier banana. Decías que podría haber derivado como escribí originalmente y no planteando la homográfica.

claro, pasar la raiz que aplica a x cuadrado e y cuadrado, a "d" cuadrado y la profe dijo que tomemos d cuadrado como F(x)

@Re: Gracias! ahora voy a ver ese con los demás ejercicios y cualquier cosa sigo consultando.
@Caro: Nunca recuerdo que haya dicho eso, y si lo vieron el día anterior al parcial tuve que faltar porque no me sentía bien. Tal vez sea por eso que no recuerde.
Encima por un imprevisto me tuve que ir este viernes antes (nada que ver con esto igual, pero con integrales yo vengo cocinado), y tampoco sé que se vió después del intervalo


Gracias por las respuestas, chicos! no sabía lo de la formula de la distancia
ahora pruebo, y veo que onda

Mirá vos, no sabía. Y te da igual?

Esa resolucion la mando el profe, tengo la del tema 1, si la queres, chiflá.

Si lo tengo copiado, con otro ejercicio es la misma onda que este pero otra ecuacion y otros puntos y la profe dijo eso!