Les paso mi resolucion, espero criticas al respecto
E1) de los datos del enunciado definimos que \[3x^2\leq z\leq 4-x^2-4y^2\] , por definicion \[V=\iiint_V dV\] para el ejercicio lo calculo por " una doble "
\[V=\iint_\sigma \left( \int z\right )d\sigma=\iint_\sigma\left(\int_{3x^2}^{4-x^2-4y^2}dz\right) d\sigma\]
operando obtengo que
\[V=4\iint_P_{xy}1-(x^2+y^2)dxdy\] el dominio de integracion sobre el plano xy \[D=\left \{ x\in R^2/x^2+y^2\leq 1 \right \}\]
tomando polares
\[g:R^2\rightarrow R^2/g(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\] operando de manera conveniente y haciendo las sustituciones necesarias
\[V=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r-r^3drd\theta=\frac{\pi}{2}\]
E2) De los datos del ejercicio deducimos que
\[w=u+uz^2\qquad \begin{Bmatrix} u=x+y^2\\\\ z=f(x,y)=x+2y-3\end{matrix}\]
con el punto A obtenemos los valores de z y u \[\begin{Bmatrix} u=6\\ z=3\end{matrix}\]
para hallar la derivada de h usamos la regla de la cadena
\[\\\frac{dh}{dx}=\frac{dw}{du}\frac{du}{dx}+\frac{dw}{dz}\frac{dz}{dx}\\\\\\\frac{dh}{dy}=\frac{dw}{du}\frac{du}{dy}+\frac{dw}{dz}\frac{dz}{dy}\]
operando de manera conviente (salvo error)
\[\\h'_x=1+z^2+2uz\\\\h'_y=2y+2yz^2+4uz\]
solo queda reemplazar los valores de u y z hallados anteriormente y definir la aproximacion para h en el punto pedido, cualquier duda lo hacemos, pero creo que no tendrian problemas para terminarlo
E3) Aplicamos la definicion directamente, de los datos del enunciado se deduce \[\begin{Bmatrix}x=\sqrt{y}\\z=\sin y \end{matrix}\] , defino la curva en forma parametrica como
\[g:R\rightarrow R^3/g(y)=(\sqrt{y},y,\sin y)\]
la definicion nos dice que
\[w=\int_{a}^{b}f(g(y))g'(y)dy\quad y\in{[a,b]}\]
haciendo los reemplazos correspondientes y las cuentas algebráicas adecuadas (salvo que error) obtengo
\[w=\int_{0}^{\pi}\left( \frac{3}{2}y+\sin y\right) dy=2+\frac{3}{4}\pi^2\approx 9.4022\]
E4) aplicamos divergencia y le restamos la tapa, por definicion \[\varphi=\iint_S+\iint_S_1=\iiint_V div f dV\] despejando de manera adecuada, necesitamos calcular
\[\varphi=\iint_S=\iiint_V div f dV-\iint_S_1\]
Calculo la integral de volumen por una integral doble
\[\iint_\sigma\left ( \int div f dz \right )d\sigma=\iint_\sigma \left ( \int_{1}^{5-x^2-y^2}5dz \right )d\sigma=5\iint 4-(x^2+y^2)dxdy\]
el recinto de integracion esta definido \[D=\left \{ x\in R^2/x^2+y^2\leq 4 \right \}\]
tomando coordenadas polares y reemplazando en nuestra integral obtenemos
\[\iiint_V div f dV=5\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(4-r^2)rdrd\theta=40\pi\]
defino la tapa como \[S_1=\begin{Bmatrix} z=1\\x^2+y^2=4\end{matrix}\] la parametrizo como
\[g:R^2\rightarrow R^3/g(x,y)=(x,y,1)\]
la normal esta dada por
\[\hat n=g'_x\times g'_y=(0,0,1)\mbox{ por regla de la mano derecha } \hat n=(0,0,-1)\]
aplicando la definicion, y coordenadas polares sobre S1 obtenemos
\[\iint_\sigma f(g(x,y))\hat nd\sigma=\iint-3z dxdy=-3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}rdrd\theta=-12\pi\]
finalmente
\[\varphi=\iint_S=\iiint_V div f dV-\iint_S_1=40\pi-(-12\pi)=52\pi\]
Los teoricos los dejo para mañana, si alguien quiere intervenir bienvenido sea
, si hay errores de definiciones o de cuentas avisen asi se corrigen y queda bien para todos
saludos