UTNianos

Alguien me puede explicar como hago este ejercicio puntualmente?
Determinar el dominio y el conjunto imagen de modo tal que exista la funcion inversa y hallarla
f(x)= 3 |x-1|²

A ver,para que sea inversa,tiene que ser biyectiva. Y a su vez,para que sea biyectiva se tienen que dar dos cosas:


1) Que a puntos distintos les correspondan imágenes distintas. (inyectividad).

El módulo lo podés abrir en positivo y negativo,no obstante elevarlo al cuadrado SIEMPRE te va a dar algo positivo,en virtud de la regla de los signos.
Es decir,sería lo mismo que tener \[3(x-1)^2\]. Eso te da una parábola en la cual hay simetría,es decir que -x pertenece al conjunto (pues x pertenece a él) y su imagen tiene el mismo valor que la de x (nota:esta condición indica simplemente que \[f(x) = f(-x)\]).

Pero eso es justamente lo que no queremos tenemos que eliminar los x que esten del lado positivo o los del lado negativo de los ejes,porque sino siempre te van a quedar dos puntos distintos del dominio que tengan distinta imagen.

Eliminemos los negativos,pues. Tenés que tener que (x-1)=>0 y por ende que x=>1.

Te queda que x=>1.De esta manera,a ningún punto x=>1 le corresponde una imagen igual pues la función es estrictamente creciente a partir de ese punto (perdon,es un viernes a la noche y me da paja ponerme a hacer esto,pero si calculas la derivada de la funcíón te da que esta es estrictamente creciente a partir del punto x-1 = 0 ). Por corolario de que sea estrictamente creciente en ningun momento la gráfica baja y se encuentra con un punto anterior,por ende podés asegurar que la función,aplicándole esa restricción es inyectiva.


2) Que todo elemento de Y sea imagen de (al menos un) elemento de x.

Es decir,formalemente... \[\forall y \in Y \quad \exists x \in X : \quad f(x) = y\].

La función se observa a simple vista que aplica un numero real cualquiera y devuelve un real positivo,por ende tenémos que \[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}+\].

Esta condición es verdadera y es evidente desde la definición misma de la función.


Entonces tomando las condiciónes de (1) y (2) tenemos que x>=1 y \[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}+\].

Por ende queda que \[DOM(f) = { x / x \varepsilon \mathbb{R} \wedge x>= 1}\] e \[IM(f) = R+\].

Esto garantiza que la función tenga inversa.

Nota: fijate la solución a ver si te da y no me equivoque YO en algún paso. Igual calculo que ya vendran a corregirme si le pifie.

Saludos!

\[\begin{align*}f(x)&= 3 |x-1|^2 \\ &=3(x-1)^2\\&=3x^2-6x+3\end{align*}\]

Por lo que f es una función cuadrática (es una parábola ;P).


TEOREMA: (importantísimo!)
Existe la función inversa de f si, y solo si f es biyectiva.

f debe ser entonces inyectiva y sobreyectiva.

Recordá que una función cuadrática es inyectiva sólo en los intervalos de su dominio separados por su eje de simetría.

Es decir, la función es inyectiva solo cuando tomás cada brazo de la parábola por separado.



La función es inyectiva en los intervalos \[(-\infty ,1]\] y \[[1 ,+\infty )\].

Por lo tanto tenés que restringir el dominio a alguno de estos dos intervalos para obtener una nueva función f* que sea inyectiva.
Elijamos la rama derecha de la parábola, por lo que el dominio de f* será \[[1 ,+\infty )\].

Ahora el codominio de esta nueva funcion f* tiene que ser igual a su imagen para que sea sobreyectiva. Podemos calcular la imágen de f* una vez que tenemos el dominio restringido.

Calculando la imagen:
\[\begin{align*} x&>1 \\ x-1&>1-1=0 \\ (x-1)^2&>0^2=0 \\|x-1|^2&>0 \\f^*(x)=3|x-1|^2&>3\cdot 0 =0\\f^*(x)&>0 \\\end{align*}\]

Luego la imagen son los reales positivos y f* queda definida como:

\[f^*:A \to B/f(x)=3 |x-1|^2\]
donde
\[\begin{align*}&A=\left \{ x\in\Re/x\geq 1 \right \}\\&B=\left \{ y\in\Re/y> 0 \right \}\end{align*}\]