Alguien me puede dar una mano?
No entiendo una cosa, por ejemplo en este ejercicio, el primero de todos
La sumatoria es desde K=1 hasta N.
\[\sum k.k! = (n+1)! -1\]
Entiendo que se tiene que cumplir para 1 y para h= h+1
pero no entiendo cuando tengo qeu pasar a comprobarla.
Hago lo siguiente:
\[\sum k.k! = \sum k.k!\]
el primero hasta h+1 y el segundo hasta h. No entiendo porque hacen eso.
Si alguien me lo puede explicar, no se usar muy bien el Latex :/
Bueno, vos tenes
\[\sum_{k=1}^{n} k.k! = (n+1)! -1\]
Asique primero haces el paso base:
-\[\sum_{k=1}^{1} k.k! = 1\]
y
-\[(1+1)! -1 = 2!-1 = 2.1 - 1 = 1\]
Con lo que se verifica el paso base. Ahora, tenes que formular tu Hipotesis y tu Tesis inductiva:
-Con n = h, Hipotesis Inductiva (la asumis como verdadera):
\[\sum_{k=1}^{h} k.k! = (h+1)! -1\]
-Con n=h+1, Tesis Inductiva:
\[\sum_{k=1}^{h+1} k.k! = (h+2)! -1\]
Y ahora demostras:
\[\sum_{k=1}^{h+1} k.k! = 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + h.h! + (h+1).(h+1)! = \sum_{k=1}^{h} k.k! + (h+1).(h+1)!\]
Ahora reemplazas y te queda:
\[\sum_{k=1}^{h} k.k! + (h+1).(h+1)! = (h+1)! -1 + (h+1).(h+1)! \]
Ahora viene la parte algebraica, por ahi la mas complicada, porque lo anterior es bastante mecanico. Acomodamos el resultado y operamos:
\[(h+1)! + (h+1).(h+1)! -1 =\]
Sabemos que el factorial de n (n!) es: 1.2.3.....n, por lo que, tranquilamente, podemos sacar un factorial como factor comun (valga la redundancia), entonces:
\[(h+1)! + (h+1).(h+1)! -1 = (h+1)! . (1 + h + 1) - 1 = (h+1)! . (h + 2) - 1\]
Y ahora, por extension para que quede bien claro el paso:
\[(h+1)! . (h + 2) - 1 = 1.2.3....h.(h+1).(h+2) - 1 = (h+2)! -1\]
Que es justamente lo que estamos buscando! Con eso queda comprobada la Tesis Inductiva, y termina el ejercicio.
Espero que haya quedado lindo, porque tambien es mi primera vez usando latex (que mal suena eso...).
En la base creo que hay algo mal...
Es la sumatoria de 1.1!.
como el factorial de 1 , es justamente 1, te queda
1.1 = 1 que es justamente lo que te pide, entonces es correcta.
El resto esta 10 puntossssssss
creo que es así lo del factorial...
(13-07-2012 15:28)Arkh escribió: [ -> ]En la base creo que hay algo mal...
Es la sumatoria de 1.1!.
como el factorial de 1 , es justamente 1, te queda
1.1 = 1 que es justamente lo que te pide, entonces es correcta.
El resto esta 10 puntossssssss
creo que es así lo del factorial...
Sisi, esa parte me la habia salteado, directamente puse que la sumatoria era igual a 1, y si no me equivoco, lo que vos decis es la verificacion de la igualdad, que es (n+1)!-1 = (1+1)!-1 = 2-1 = 1
Es decir, se verifican ambas cosas, la sumatoria, y la propiedad que estamos tratando demostrar (los resultados deben ser iguales, claro).