Gente molesto otra vez con un ejercicio de un final, de mayo de este año....
el ejercicio dice : sea el polinomio característico p(λ) =(λ-1)(λ-2)² de la matriz A de R 3x3
sabiendo que S={X e R3x1 / X1 +2 X3 =0} es autoespacio de A, analice si es diagonalizable!!
no se como hacer la matriz A! si alguien me orienta un poco se lo voy agradecer!!
No tenés ni siquiera que encontrar A, es un ejercicio conceptual. Fijate:
Tenés un polinomio característico con 3 raices, 2 dobles (término elevado al cuadrado del polinomio) y una simple.
El subespacio S esta generado por { (0,1,0) , (-2,0,1)} y encima aclara que es autoespacio de A, como verás ambos vectores son L.I. ( y son autovectores por pertenecer al autoespacio).
Lo que debes hacer es decir que el autovalor simple por propiedad como máximo admite 1 solo autovector (recordar que la multiplicidad algebraica es menor o igual a la multiplicidad geométrica y a su vez mayor o igual a 1). Ahora bién, conoces ese autovector ? la respuesta es NO, pero sabes que existe ya que hay un autovalor en cuestión, vamos a llamarlo V a este autovector.
Por lo tanto con los otros dos autovectores que generan S y a su vez GENERAN UN AUTOESPACIO voy a decir que pertenecen al autovalor doble.
Concluyendo que el autovector V y los { (0,1,0) , (-2,0,1) } son L.I. dado que provienen de autovalores diferentes (es propiedad eso) y que juntando estos tres autovectores genero una base de R3 y por lo tanto podre hallar una matriz P que contendra en sus columnas los autovectores y sea inversible por ser dichos autovectores L.I. y generar R3, quedando :
A=P D P^(-1)
con D una matriz diagonal de autovalores y A diagonalizable.
Gente esto es a modo de sugerencia, repasen propiedades, algebra sale como piña si se saben las propiedades. Saludos.
Darthmaul, mil gracias por tua porte, ya rendi me fue bien y si hay que saber muchas propiedades!!
Me alegro de que te sirvio. Saludos.
