Escribir la expresion analitica de una funcion que tenga las siguientes caracteristicas y graficarla:
c) Asintota vertical de ecuacion x=3 y asintota horizontal a la izquierda (x--> -inifinito) de ecuacion y= 1 y oblicua de ecuacion y=x a derecha (x--> + infinito)
Que planteaste?
Asi de la nada yo pondría en un denominador: (x-3)
y = (x + b) / (x-3)
y buscaria la b..
Lo tengo que pensar mejor pero es un ejercicio que sale igualando. Intentaste algo masi?
Si lo del denominador lo pense , y tambien despues pense hacer la multiplicacion entre el denominador y x de la asintota oblicua para tener el numerador . Pero el tema es que si tengo esto no tengo la a.h
No estoy seguro de lo que te voy a responder porque hace un tiempo que no toco analisis 1, pero si no me equivoco se resuelve de la siguiente forma:
- Asintota Vertical:
Para que exista una asintota vertical como bien dijeron tiene que haber un punto en el denominador donde no exista el limite de x tendiendo a ese punto. En nuestro caso podemos comenzar diciendo que:
\[\mathit{f(x) = \frac {g(x)}{x-3}}\]
- Asintota Horizontal
El problema plantea que cuando \[\mathit{x \to \infty- }\] debe existir una Asintota Horizontal en \[\mathit{x = 1 }\] y que cuando \[\mathit{x \to \infty+ }\] debe existir una Asintota Oblicua tal que \[\mathit{y=x }\]. Para lograr esto lo unico que se me ocurre (y que me parece recordar) es que la funcion que armemos debe ser partida. Entonces, si tomamos en cuenta lo que dije anteriormente, puedo plantear que cuando \[\mathit{x<0}\] exista una funcion y que cuando \[\mathit{x \geq 0}\] exista otra función. Segun el punto anterior, la Asíntota Vertical debia existir para \[\mathit{x = 3}\], lo que significa que \[\mathit{x \geq 0}\] por lo que no es necesario introducir
\[\mathit{\frac {g(x)}{x-3}}\]
en el tramo donde \[\mathit{x < 0}\].
Recordando que para resolver limites donde \[\mathit{x \to \infty}\] habia que dividir tanto el numerador por el denominador por \[\mathit{x^{n}}\] siendo \[\mathit{n}}\] el exponente mas alto, y teniendo en cuenta que en este caso \[\mathit{x \to \infty-}\], podriamos armar la ecuacion por ejemplo de la siguiente forma:
\[\mathit{f(x) = \frac{x^{2}+3x}{x^{2}-2}}\]
- Asintota Oblicua
Cuando nos piden una asintota oblicua tenemos que tener en cuenta que nos estan pididendo que la asintota responda a una ecuacion del tipo \[\mathit{y = ax+b}\]. En nuestro caso nos dicen que \[\mathit{y = x}\], por lo que \[\mathit{a=1}\] y \[\mathit{b=0}\]. Esto traducido en limites significa que:
\[\mathit{\lim_{x \to \infty+ } {f(x)} = 0}\]
y que:
\[\mathit{\lim_{x \to \infty+ } {xf(x)} = 1}\]
y hay que recordar que aca tenemos que tener en cuenta que:
\[\mathit{f(x) = \frac {g(x)}{x-3}}\]
Entonces un ejemplo para que la funcion me de una asintota oblicua sería el siguiente:
\[\mathit{f(x) = \frac{1}{x-3}}\]
Por lo que la funcion que una posible respuesta sería la siguiente:
\[\mathit{f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+3x}{x^{2}-2} & x<0 \\ \frac{1}{x-3} & x \geq 0 \end{matrix}\right.}\]
Si queres lo podemos comprobar de la siguiente forma
- Asintota Vertical
\[\lim_{x->3}{f(x)} = \lim_{x->3}{\frac{1}{x-3}} = \infty \]
- Asintota Horizontal
\[\lim_{x \to \infty-}{f(x)} = \lim_{x \to \infty-}{\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-2}} = \lim_{x \to \infty-}{\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2}{x^{2}}}} = \lim_{x \to \infty-}{\frac{1+0}{1-0}} = 1\]
- Asintota oblicua
\[\lim_{x \to \infty+}{f(x)} = \lim_{x \to \infty+}{\frac{1}{x-3}} = \lim_{x \to \infty+}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}} = \lim_{x \to \infty+}{\frac{0}{1-0}} =0 \]
\[\lim_{x \to \infty+}{xf(x)} = \lim_{x \to \infty+}{\frac{x}{x-3}} = \lim_{x \to \infty+}{\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}} = \lim_{x \to \infty+}{\frac{1}{1-0}} = 1\]
¡Espero que te haya servido!
Saludos
Dalee muy buenoo!! , muchas gracias!