La velocidad \[v\] de una onda de longitud \[L\] es \[v_{(L)}=k\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}\], donde \[k\] y \[c\] son constantes positivas conocidas.
¿Cuál es la longitud de onda que da lugar a la velocidad mínima?
Desde ya, gracias.
Para calcular los extremos, igualamos la derivada a cero:
\[{V(L)}' = 0\]
\[{V(L)}' = \frac{1}{2} K \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}+\frac{C}{L}}} \left (\frac{1}{C}-\frac{C}{L^{2}} \right )\]
\[\frac{1}{2} K\] y \[\frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}+\frac{C}{L}}}\] no pueden ser cero, por lo que:
\[\frac{1}{C}-\frac{C}{L^{2}} = 0\]
De ahi que:
\[\left | L \right | = C\]
Luego tendras que verificar cual de los dos valores es el que te da un minimo (haciendo la derivada segunda o poniendo valores cercanos y ver que es lo que da)
Gracias!
Teniendo:
\[{\color{DarkBlue} v_{(L)}=k\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}}\]
Hallo su derivada:
\[{\color{DarkBlue} v_{(L)}'=k \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}} \cdot \left (\frac{1}{c} -\frac{c}{L^2} \right )}\]
Como tenemos que:
\[{\color{DarkBlue} k>0 \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \frac{1}{2}>0 \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{c}+\frac{c}{L}}}\neq 0}\]
y necesitamos que:
\[{\color{DarkBlue} v_{(L)}'= 0}\]
La única manera de que pase eso sería que:
\[{\color{DarkBlue} \frac{1}{c} -\frac{c}{L^2} = 0}\]
Entonces, resolvemos:
\[{\color{DarkBlue} \frac{1}{c} -\frac{c}{L^2} = 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{1}{c} = \frac{c}{L^2} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ L^2 = c^2 }\]
Ahora, como sabemos por el enunciado que la constante \[{\color{DarkBlue} c}\] es positiva:
\[{\color{DarkBlue} L^2 = c^2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ L = c}\]