(28-09-2012 08:44)makifi escribió: [ -> ]Consulta, esta claro que el 2 b) es falso, pero me dan una mano para demostrarlo?
Gracias
yo elegi como transformados (1;2) y (2;4) que claramente son l.d. invente una tl de r3 a r2 tal que F(x,y,z)=(x-y;y+z)... entonces, F(1,0,2)=(1,2) y F(0,-2,6)=(2,4)
entonces si no estoy diciendo ninguna barbaridad: {f(v1),f(v2)} = {(1,2),(2,4)} es L.D como pide, pero {v1,v2} = {(1,0,2),(0,-2,6)} es claramente L.I por lo que sería falso
seguro hay una explicacion un poco mas ortodoxa, pero yo solo se hacer ejercicios
si, el 5 es mala leche, pero dentro de todo tiene su facilidad...
el polinomio caracteristico te queda: \[\lambda ^{2}+1=0\] Entonces las raices serian \[i\] y \[-i\]. NI te preocupes en sacar los autovectores, ademas de volverte loco, no hace falta... sabes que \[M=P.D.P^{-1}\] asi como se puede extender a \[M^{k}=P.D^{k}.P^{-1}\]
se sabe tambien que \[i=\sqrt{-1}\] ---> \[i^{2}=-1\] ENTONCES \[i^{4}=1\] (por que seria \[-1.-1=1\])
o sea, que i elevada a un multiplo de 4, vale 1, por lo que: \[D^{k}=\left \begin{pmatrix}(-i)^{k} & 0\\ 0 & i^{k}\end{pmatrix}\] y por lo que dijimos antes nos queda que \[D^{k}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I\] \[M^{k}=P.I.P^{-1} M^{k}=P.P^{-1} M^{k}= I\]
y finalmente nos quedo lo que queriamos llegar
y si, que es un ejercicio muy feo, lo es