Hola a todos.
Tengo un ejericio complementario (no de la guía) que dió la profesora y que no logro resolver:
Dados el haz de planos de ecuación: \[\alpha \left ( x + z \right ) + x - y = 0\]
y la recta de ecuación \[r: \left ( x,y,z \right ) = \left ( 1 + 3 t, -1 + k t, -t \right ) k, t \epsilon \mathbb{R}\]
Encuentre el valor de k para el cual existe un plano \[\pi \] perteneciente al haz dado, tal que r
sea perpendicular a \[\pi \] .
Lo que hice fue obtener:
- el vector director de la recta: \[\left ( 3, k, -1 \right )\]
- el vector normal a todos los planos del haz: \[\left ( \alpha + 1 , \alpha , -1 \right )\]
Y con estos dos vectores plantear la formula de ángulo entre recta y plano sabiendo que al ser perpendiculares el ángulo será 90º.
Pero en ese punto se me complejiza mucho y creo que le estoy pifiando y me falta conciderar algo.
Me quedan una ecuación con las 2 variables (\[\alpha \] y k) al cuadrado...
La respuesta que dió la profesora para este ejercicio es k=-4
A[/s][/code]lguna idea?
(31-05-2012 09:58)tofa escribió: [ -> ]- el vector director de la recta: \[\left ( 3, k, -1 \right )\]
BIEN!
Cita:- el vector normal a todos los planos del haz: \[\left ( \alpha + 1 , \alpha , -1 \right )\]
Lo escribiste al revéz, sería: \[\left ( \alpha + 1 , -1 , \alpha \right )\]
Probaste escribiendo recta y haz en forma cartesiana? De ese modo, al ser perpeniculares, te quedan 3 ecuaciones con 3 incógnitas (\[\alpha , t , k\]). Despejando vas a llegar al valor de la constante buscada.
Saludos!
Tenes algo mal en el plano o la recta, si una recta es perpendicular a un plano, significa que su director es proporcional a la normal del plano, entonces por definición
\[d_r=\beta n_\pi\]
y del sistema asociado, se encuentran los valores que nos piden para que se cumpla la condición del enunciado, sin embargo
(31-05-2012 09:58)tofa escribió: [ -> ]Hola a todos.
Dados el haz de planos de ecuación: \[\alpha \left ( x + z \right ) + x - y = 0\]
y la recta de ecuación \[r: \left ( x,y,z \right ) = \left ( 1 + 3 t, -1 + k t, -t \right ) k, t \epsilon \mathbb{R}\]
Encuentre el valor de k para el cual existe un plano \[\pi \] perteneciente al haz dado, tal que r
sea perpendicular a \[\pi \] .
Lo que hice fue obtener:
- el vector director de la recta: \[\left ( 3, k, -1 \right )\]
- el vector normal a todos los planos del haz: \[{\color{Red} \left ( \alpha + 1 , \alpha , -1 \right )}\]
o te confundiste al encontrar la normal? o el plano que te dieron es otro? fijate que en la componente z de la normal pones -1, cuando deberia ir \[\alpha\]
Cita:La respuesta que dió la profesora para este ejercicio es k=-4
haciendo la corrección se llega a un absurdo, y como vos lo pones se llega a k=2,
Revisé el enunciado y el plano y la ecta están bien, ahí no le pifié.
Es correcto que me equivoqué con el vector normal al plano, intercambié los valores de z e y.
El vector correcto sería: \[\left ( \alpha + 1 , -1 , \alpha \right )\]
y usando lo del la equivalencia enre el vector normal al plano y el vector director de la recta llegué a k=-4 !
Si decimos que
\[t . \left ( 3 , k , -1 \right ) = \left ( \alpha + 1 , -1 , \alpha \right )\]
Entonces
\[3 t = \alpha + 1\]
\[t . k = -1\]
\[t . (-1) = \alpha \]
Despejando y reemplazando llego a k=-4
Excelente, no me había avivado de lo de los vectores y planteaba la formula de ángulo entre recta y plano que se hacía un choclazo...
Tal cual, revisando mis cuentas cometi un error,
por eso no las hago aca en el foro, soy un desastre en cuentas
(31-05-2012 15:06)Saga escribió: [ -> ]Tal cual, revisando mis cuentas cometi un error, por eso no las hago aca en el foro, soy un desastre en cuentas
Me pasa siempre lo mismo, por eso evité escribir la resolución Jaja
A veces uno no ve sus errores aunque revise mil veces. Por eso está bueno ponerlo a concideración de otra persona que pueda ver el problema con la cabeza más limpia.
Igualmente, luego intenté encarar el problema como lo había hecho al comienzo pero con el vector corregido pero llegué a un choclazo similar al primero, ergo, ese no era el camino...
Gracias por la colaboración.
Chicos, es posible un vector Normal a TODOS los planos del haz? me estoy confundiendo vector normal con director en haz de planos....