(04-06-2012 17:32)Saga escribió: [ -> ]Ah.... ni idea Maartin, para mi eso es Gauss jordan, ahora lo que me suena lo que vos decis es, el metodo del pivote, debe ser lo mismo pero yo lo conozco de esa manera, basicamente es triangular la matriz superior e inferiormente, dejando solo la diagonal principal, y de ahi deducir resultados, eso eso ??
Mira, hoy tuve algebra y me despejo mis dudas Verdanega. Pero de todos modos, te explico cual es la idea, asi te sirve para el futuro Saga.
Yo quiero hallar la inversa de una matriz. Para eso necesito aplicar Gauss - Jordan. Entonces, supongamos que nuestra matriz es:
\[A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7\\ 2 & 6 & 9\\ 1&5 & 4\end{pmatrix}\]
para hallar su inversa lo que hay que hacer es lo siguiente:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 4 &7 &1 &0 &0 \\ 2 & 6 &9 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 5 & 4 & 0 &0 & 1\end{pmatrix}\]
Como ven, el primer paso es agregar a la derecha de la matriz a hallar su inversa, la matriz identidad. La idea es que en la matriz original quede la matriz identidad, y en la matriz identidad, nuestra inversa. Cuando termine el ejemplo se va a entender mejor. Ahora hay que buscar un 1 (del lado de nuestra matriz original, siempre) al que llamaremos pivote de ahora en adelante, con el que "pivotear". Los pivotes siempre tienen que ser un 1. Vamos a elegir el 1 de la primer fila. Esa fila va a quedar igual, esa columna va a ser 1, 0 y 0 y los demás términos van a estar dados por los productos cruzados entre el pivote y los demás terminos:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 4 &7 &1 &0 &0 \\ 0 & (1x6)-(2x4) &(1x9)-(2x7) & (1x0)-(2x1) & (1x1)-(2x0) & (1x0)-(2x0)\\ 0 & (1x5)-(1x4) & (1x4)-(1x7) & (1x0)-(1x1) &(1x0)-(1x0)&(1x1)-(1x0)\end{pmatrix}\]
Quedando finalmente:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 4 &7 &1 &0 &0 \\ 0 &-2 &-5 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Ahora, buscamos otro pivote. Este no puede estar ni en la misma fila ni en la misma columna en donde esta el pivote que escogimos antes. Escojamos el 1 que esta en el medio de la ultima fila. Nuevamente esa fila quedara igual, y esa columna sera 0, 0, 1.
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}(1x1)-(0x0) & 0 &(1x7)-(0x-3)&(1x1)-(-1x0) &(1x0)-(0x0) &(1x0)-(1x0) \\ (1x0)-(0x0) & 0 &(1x-5)-(0x-3) & (1x-2)-(-1x0) & (1x1)-(0x0)&(1x0)-(1x0)\\0&1&-3&-1& 0 & 1\end{pmatrix}\]
Quedandonos resolviendo:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 7 &1 &0 &0 \\ 0 & 0 &-5 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Ahora hay que hacer lo mismo, pero resulta que nos quedamos sin pivotes libres para elegir (recuerden que no podemos elegir pivotes ni de la 1ra o 3er fila. Para ello debemos elegir un numero posible (el -5 en nuestro caso) y dividirlo por un numero tal que alli quede un 1 (es decir, dividirlo por -5). Se debera dividir por -5 a toda esa fila, quedandonos:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 7 &1 &0 &0 \\ 0 & 0 &1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & 0\\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Por ultimo, vamos a utilizar ese pivote que creamos, de la misma forma que empleamos los otros pivotes:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}(1x1)-(0x7) & (1x0)-(0x7) & 0 &(1x1)-(7x\frac{2}{5}) &(1x0)-(7x-\frac{1}{5}) &(1x0)-(0x7) \\ 0 & 0 &1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & 0\\ (1x0)-(-3x0) & (1x1)-(-3x0) & 0 & (1x-1)-(-3x\frac{2}{5}) & (1x0)-(-3x-\frac{1}{5}) & (1x1)-(0x-3)\end{pmatrix}\]
Resolviendo...
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0& 0 &-1,8 &1,4 &0 \\ 0 & 0 &1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2,2 & -0,6 & 1\end{pmatrix}\]
Nuestro ultimo problema es que nos quedo mal la matriz identidad. Deberemos entonces permutar la 3er fila con la 2da fila, quedandonos finalmente:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0& 0 &-1,8 &1,4 &0 \\ 0 & 1 &0 &-2,2 & -0,6 & 1\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & 0\end{pmatrix}\]
Entonces, la matriz inversa sera:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}-1,8 &1,4 &0 \\ -2,2 &-0,6 & 1\\ \frac{2}{5} &-\frac{1}{5} & 0\end{pmatrix}\]
No creo que se haya entendido algo, pero bueno, hice mi mejor esfuerzo
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Saludos
Dios, se ve todo re malll jajajja que poronga xD
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