UTNianos

Hola, que tal?
Calcule la circulacion de f(x,y)=(y,-x) a lo largo de la frontera de la region definida por \[x^{2}\leq y\leq 1 \cap 0\leq x\leq 1\]

Estoy tratando de resolver este ejercicio y no entiendo la resolución tomada de Kasero.

Como es que para C2 g(t) =(2-t,1) y para C3 g(t)=(0,3-t) ?

No entiendo como llega a 2-t y a 3-t


[IMG=http://www.subeimagenes.com/thumb/am2-289241.jpg][/IMG]

Ni idea lo que hizo kasero, te digo lo que hice yo.

tenes que calcular 3 circulaciones (y sumarlas)


la region esta limitada por las curvas:
x^2 = y
y=1
x=0

(Si haces los graficos de todas las limitaciones, te das cuenta)

parametrizas las 3 curvas y calculas la circulacion.

Luego las sumas y llegas al resultado

saludos

(06-06-2012 12:30)el pibe escribió: [ -> ]Ni idea lo que hizo kasero, te digo lo que hice yo.

tenes que calcular 3 circulaciones (y sumarlas)


la region esta limitada por las curvas:
x^2 = y
y=1
x=0

(Si haces los graficos de todas las limitaciones, te das cuenta)

parametrizas las 3 curvas y calculas la circulacion.

Luego las sumas y llegas al resultado

saludos

Claro, yo hice el grafico de las limitaciones pero no logro encontrar la ecuacion para X cuando Y=1 y para Y cuando X=0.

La primer curva me queda g(t)=(t,t^2) ¿y las otras dos como las parametrizo?

Gracias

La otra no varian y=1 para todos los valores y para la otra x=0 para todos los valores de y.. son constantes por eso no le pone t.

En realidad lo que hace kasero es aplicar la defincion de circulacion, la cual nos dice que la curva se tiene que recorrer en sentido antihorario, para ello utiliza la definición de inversion de una curva

dada por \[\lambda(t)=g(a+b-t)\] aplicada a cada parametrización que necesites invertir el sentido de la orientación por ejemplo, fijate que para recorrer en sentido antihorario la parabola

necesitamos, para que este en sentido antihorario vaya del punto (0,0) al punto (1,1), parametrizamos de manera habitual

\[\lambda_1(t)=(t,t^2)\quad t[0,1]\]

verificamos que este en sentido antihorario, fijate que cuando hacemos \[\lambda(0)\] obtenemos el punto inicial (0,0) y con t=1 el punto final, por lo que no se necesita invertir la curva.

Ahora para la otra curva, la parametrización habitual es

\[g_2(t)=(t,1)\]

debemos orientarla en sentido antihorario, o sea de (1,1) a (0,1) ,aplicando la definición

\[\lambda_2(t)=g_2(a+b-t)=g_2(1+1-t)=g_2(2-t)=(2-t,1)\]

para hallar de donde a donde va t, hacemos

\[\lambda(t)=(2-t,1)=(1,1)\to t=1 \wedge \lambda(t)=(2-t,1)=(0,1)\to t=2\]

de donde

\[\mbox{\lambda_2(t)=(2-t,1)\quad t[1,2]}\]

si verificas fijate que con \[t=1\] obtengo el extremo inicial \[(1,1)\] y con \[t=2\] el extremo final \[(0,1)\] correspondientes a esa curva, intenta el otro, recorda que

necesitas que la curva que vaya desde el \[(0,1)\] al \[(0,0)\], cualquier duda ....

en realidad, si miras bien, vos te moves por las Y con la X constante en 0
la parametrizacion seria g(t)=(0,t)


la otra curva, te moves con las X cuando Y vale constante = 1
la parametrizacion seria g(t)=(t,1)

(06-06-2012 16:37)el pibe escribió: [ -> ]en realidad, si miras bien, vos te moves por las Y con la X constante en 0
la parametrizacion seria g(t)=(0,t)

t entre que valores......

Cita:la otra curva, te moves con las X cuando Y vale constante = 1
la parametrizacion seria g(t)=(t,1)

idem

En realidad no discuto las parametrizaciones, pueden ser varias maneras de parametrizar una curva..eso esta a gusto del cliente... jejeje siempre y cuando se cumpla la condición de que la curva este orientada en sentido antihorario, recorda que la definición nos dice que

\[w=\oint_{C^+}fd\sigma\]

por eso no se si tus parametrizaciones estan o no en sentido antihorario, si no indicas el valor del parametro t.

los valores de t estan indicados por la frontera
g(t)=(t,1), t entre [0,1] (aunque la circulacion la haces de 1 a 0)
g(t)=(0,t), t entre [0,1] (aunque la circulacion la haces de 1 a 0)

---

por la frontera, observamos que la rama de la parabola que nos sirve es la que va de 0 a 1 por las X y de 0 a 1 por las Y

Si tomamos la circulacion:

\[\int_{0}^{1}(parabola) + \int_{1}^{0}(curva: y=1) + \int_{1}^{0}(curva: x=0)\]

Nos da la solucion propuesta.

Importante: la circulacion es independiente de la parametrizacion de la curva, asi que parametriza como quieras, mientras represente a la curva

Si no me equivoque en las cuentas vos tenes que

\[\int_0^1t+2t^3dt+\int_1^0 tdt+\int_1^0tdt=0\]

el pibe escribió:Importante: la circulacion es independiente de la parametrizacion de la curva, asi que parametriza como quieras, mientras represente a la curva

en esto estamos de acuerdo de hecho

saga escribió:pueden ser varias maneras de parametrizar una curva..eso esta a gusto del cliente

Pero si depende de la de la curva y su orientacion, cuando el campo no es conservativo, como en este ejercicio, y de los valores adecuados del parametro t.

No es igual a 0.

Es mas, el ejercicio aclara "Notese que aun siendo curva cerrada, la circulacion no da 0"

Acordate que la circulacion se calcula con la integral de f(g(t)) * g'(t) dt

el pibe escribió:Acordate que la circulacion se calcula con la integral de f(g(t)) * g'(t) dt

Ahi le pifié jajaj, llegas a lo mismo sin depender de la parametrización pero si de la orientación de la curva.

Estan las dos formas de recorrer una curva, la propuesta por kasero, y la que propones vos, que es mas sencilla