UTNianos

Hola gente, tengo estos 3 ejercicios qe no los entiendo, si alguno me hace la gamba y me ayuda lo agradecere !! Saludoos


1.Determine el conjunto de puntos del plano complejo que satisface la ecuacion:
\[\left | z-2i \right |^{2} + Re(z)= Re(z^{2}) +2[Im(z)]^{2}\]


2. Sea \[S= gen \left \{ \left ( 1,1,0,1 \right ) ,\left ( \right0,1,1,2),\left ( -1,0,1,1 \right )\right \}\]
Defina si esposible una transformacion lineal\[T: \mathbb{R}^{4}\rightarrow \mathbb{R}^{4} \] que verifique simultaneamente S es autoespacio asociado al autovalor -1 y dim Nu(T)= 2.


3. Dada en \[ \mathbb{R}^{3}\] la ecuacion: \[-y^{2} + Mz^{2} = 1\].

a) Halle \[M\varepsilon \mathbb{R}\] para que la interseccion de dicha superficie con el plano \[y = \sqrt[]{3}\] sea un par de rectas tal que la distancia entre ellas sea 8.

b) Para \[M= \frac{1}{4}\] encuentre las trazas de la superficie con los planos coordenados e identifique dicha superficie. Grafique.

1) no vi complejos
2) lo pienso
3) la intersección con el plano y la superficie nos da como resultado

\[\\|z|=\dfrac{2}{\sqrt{M}}\]

de donde las rectas son

\[r=\left ( x,\sqrt{3},\pm\dfrac{2}{\sqrt{M}} \right )\]

Applicando la formula de distancia

\[d(L.r)=\dfrac{|P_0P_1\times dL|}{|dL|}=\dfrac{|\left(0,0,\dfrac{4}{\sqrt{M}}\right)\times (1,0,0)|}{|1|}=8\]

haciendo las cuentas \[M=\dfrac{1}{4}\]

el otro cuando pueda te contesto,

Resuelvo el primero.

Como z es complejo se puede escribir: \[z=x+iy\]

Entonces \[Re(z)=x\] y \[Im(z)=y\].

Además \[z^2=(x+iy)^2=x^2+2ixy+(iy)^2=x^2-y^2+2ixy\]

Si tomamos la parte real de ese resultado: \[Re(z^2)=x^2-y^2\]

Por otra parte \[2[Im(z)]^2=2[Im(x+iy)]^2=2y^2\]

Trabajando con el módulo de z-2i:

\[\left | z-2i \right |^2=\left | x+iy-2i \right |^2=\left | x+i(y-2) \right |^2=x^2+(y-2)^2\]

Reemplazando todos estos resultados en la ecuación que te dieron en el problema:

\[x^2+(y-2)^2+x=x^2-y^2+2y^2=x^2+y^2\]

Desarrollando y-2 al cuadrado y operando con la ecuación se llega a:

\[x^2+y^2-4y+4+x-x^2-y^2=0\]

\[-4y+4+x=0\]

\[y=\frac{x}{4}+1\]

Espero que no haberme equivocado en alguna boludez jaja.

Saludos.

(10-07-2012 22:22)Saga escribió: [ -> ]1) no vi complejos
2) lo pienso
3) la intersección con el plano y la superficie nos da como resultado

\[\\|z|=\dfrac{2}{\sqrt{M}}\]

de donde las rectas son

\[r=\left ( x,\sqrt{3},\pm\dfrac{2}{\sqrt{M}} \right )\]

Applicando la formula de distancia

\[d(L.r)=\dfrac{|P_0P_1\times dL|}{|dL|}=\dfrac{|\left(0,0,\dfrac{4}{\sqrt{M}}\right)\times (1,0,0)|}{|1|}=8\]

haciendo las cuentas \[M=\dfrac{1}{4}\]

el otro cuando pueda te contesto,

buenisimo! muchas gracias.. ahora una pregunta mas, me podrias explicar de donde sacaste esas dos rectas en la formula de distancia'? me perdi un poco y me esta costando algo este tema jaja, saludos!

(12-07-2012 00:21)alaain escribió: [ -> ]buenisimo! muchas gracias.. ahora una pregunta mas, me podrias explicar de donde sacaste esas dos rectas en la formula de distancia'? me perdi un poco y me esta costando algo este tema jaja, saludos!

No hay problema , fijate que una vez planteando la intersección me queda definidas unas recta, la cual YO, la exprese en forma vectorial, por ahi te perdiste de la forma en que la defini,

que viendolo bien me pa que hice un abuso en la notacion ..

\[r=\left ( x,\sqrt{3},\pm \dfrac{2}{\sqrt{M}} \right )\]

fijjate que esas rectas las puedo expresar con una notacion que te resulte mas conocida

\[r_1=\left (0,\sqrt{3},\dfrac{2}{\sqrt{M}} \right )+x(1,0,0)\]

\[r_2=\left (0,\sqrt{3},-\dfrac{2}{\sqrt{M}} \right )+ \beta(1,0,0)\]

lo podes ver ahora ??

sii ahora si..

pero ese vector (1,0,0) ..como lo sacaste?

mmmmm te hago una pregunta si yo te doy esta ecuación

\[r=(1-2x,5-x,-x)\]

como veras es una recta escrita en forma de vector, y si te pregunto cual es el vector director de esa recta.... lo podes identificar??

---

2)

Una base de S es \[B_S=\left\{\left(1,1,0,1\right) ,\left(\right0,1,1,2)\right \}\]

Por las condiciones del enunciado se tiene que cumplir \[T(\vec{v})=-\vec{v}\] para todo vector en S, como nos piden que definamos una TL para este espacio, extendemos la base de S tomando por comodidad en cuentas 2 vectores de la base canonica, a los cuales les aplicamos \[T(\vec{v})=\vec 0\], con lo cual tenes ya definida la matriz de la transformación en la base S

\[B_S=\left\{\left(1,1,0,1\right) ,\left(\right0,1,1,2),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\right \}\]

Yo tome esas que agregue ahi, pero podes tomar cualquier vector de \[R^4\] siempre y cuando sean LI con los anteriores ^^

---

Te edite el título por uno mas descriptivo sobre el contenido, a futuro si podes porfa un th por ejercicio, y no todo junto en uno solo

despues que postie segui leyendo y entendi bien! gracias por la ayuda a alos dos !

voy a ver si me la saco de encima mañana jaja, saludos!