17-07-2012, 10:06
TEMA: Mañana. los temas dentre la mañana solo varían los numeros.
Ejercicio 2
A)
\[8^{138}\equiv 1(11)\]
Paso 1: Buscamos cumplir el teorema de fermat
\[a^{p-1}\equiv 1(p)\]
\[8^{10.13+8}\equiv 1(11)\]
\[8^{10}^{13} + 8^{8}\equiv 1(11)\]
entonces
\[8^{10}\equiv 1(11) es = 1\]
por lo que queda:
\[1^{13} . 8^{8}\] = 64
entonces queda:
\[R(8^{138},11) = R(8^{8})\]
lo que hacemos es dividir 64 por 11 y nos da que el resto es 9 , entonces como dijimos , los dos restos son iguales.
\[R(8^{138},11) = 9\]
B)\[24x\equiv 30(12)\]
Hacemos el M.C.D (24,12) = 12
Probamos si 12 divide a 30. como no lo divide, no tiene solución
C) Te pide crear una solución en Z15, osea que sea
\[a\equiv 1(15)\] a es un numero cualquiera.
te pide que tenga más de una solucion y que tenga una solucíon.
para que tenga 1 solucion, el M.C.D entre \[(a,15)\]=1
para que tenga más de una solucion
\[(a,15)> 1\]
Ejercicio 3
El polinomio caracteristico es el siguiente:
\[x^{2}-4x-5\]
La solucion general tiene la siguiente forma. \[a_{n}= A.(R_{1}) + B.(R_{2})\]
siendo r1 y r2 las raices del polinomio caracteristico(-1 y 5) segun las respuestas.
entonces te queda: \[a_{n}= A.(-1)^{n} + B .(-5)^{n}\]
Solución particular:
Lo que se hace es lo siguiente, como nos dicen que a1 = 0; a2=1, remplazamos en An.
\[a_{1}= A.(-1)^{1}+B.(-5)^{1} = 0\]
entonces queda.
\[-A-5B = 0\]
Ahora vamos con a2.
\[a_{2}=A.(-1)^{2}+B.(-5)^{2} = 1\]
Esto queda
\[4A+25B = 1\].
Nos queda un sistema, lo resolvemos y nos da que
\[-A-5B = 0\]
\[4A+25B = 1\].
[/color]a= 1/6
B=1/30
Ejercicio 4:
\[Y=(3x-z)\div 3\]
Reflexiva.
Reflexiva
xRx.
\[x=(3x-z)\div 3\] >>>>> 3x + z = 3x >>>>> (3x + z)/3 = x, existe un Z perteneciente a los enteros que para todo x se cumple que (3x+z)/3 = x
Simetrica
xRy entonces yRx
\[Y=(3x-z)\div 3\] >>>>> 3y + z = 3x >>>>> (3y+z)/3 = x , se cumple.
Transitiva
xRy ^ yRq entonces xRq
\[Y=(3x-z)\div 3\] ::::Y:::: \[Q=(3y-z)\div 3\]
despejamos de la primera y queda
\[3Y=(3x-z)\]
lo remplazamos en la segunda
\[Q=(3x-z-z)\div 3\]
\[Q=(3x-z'')\div 3\] siendo z' un entero. z''=(-z'-z)
se cumple.
TEMA TARDE:
Ejercicio 2.
Hay que hacer el diagrama de hasse con los datos que te dan.
\[P(A)= 2^{7}\]
como ven seria largisimo el diagrama de hasse ya que son 64 elementos.
pero como todas las preguntas van directamente a B, lo que hay que hacer es el diagrama de hasse hasta los elementos de B ( y un poco más) para poder ver bien todo lo que te piden.
el diagrama empieza con el "VACIO" , despues va a las letras sola (a,b,c,d,e,f,g)
despues de cada letra a sus grupos por ejemplo , (a,b) (a,c) (a,d) y así hasta cumplir el grupo B y un par más de valores para ver sus cotas.
Ejercicio 3.
A)phi(180) hacemos la funcion de euler.
180 =\[2^{2}.3^{2}.5\]
entonces tenemos que hacer lo siguiente
\[180.(1- \frac{1}{2}). (1- \frac{1}{3}). (1- \frac{1}{5}) = 48\]
B) \[54x\equiv 12(3)\]
Buscamos el m.c.d(54,3).
m.c.d (54,3) = 3
3 divide a 12?, sí.
entonces tiene 3 soluciones, vamos dando valores hasta Z3 (0,1,2,3) y van a ir saliendo las soluciónes.
C) \[12^{145}\equiv 1(11)\]
Transformamos a \[12^{145}\] en \[12^{10.14+5}\]
por el teorema de fermat queda.
\[1^{14}. 12^{5}\]
entonces queda que el resto de \[12^{145}\] es igual al resto de \[12^{5}\]
hacemos la division de \[12^{5}\] dividido 11 y el resto da 1
Ejercicio 4: es igual al de el turno mañana, diferentes numeros.
Ejercicio5.
a) no tengo idea!
b) es verdadero por definicion de particion. (no tiene el infinito) (tiene todos los elementos del conjunto de partes)
c) es verdadero.
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Me falto el ejercicio 1 de ambos temas. El que tenga ganas de hacerlos puede subirlos asi queda completo!
Saludos!
Ejercicio 2
A)
\[8^{138}\equiv 1(11)\]
Paso 1: Buscamos cumplir el teorema de fermat
\[a^{p-1}\equiv 1(p)\]
\[8^{10.13+8}\equiv 1(11)\]
\[8^{10}^{13} + 8^{8}\equiv 1(11)\]
entonces
\[8^{10}\equiv 1(11) es = 1\]
por lo que queda:
\[1^{13} . 8^{8}\] = 64
entonces queda:
\[R(8^{138},11) = R(8^{8})\]
lo que hacemos es dividir 64 por 11 y nos da que el resto es 9 , entonces como dijimos , los dos restos son iguales.
\[R(8^{138},11) = 9\]
B)\[24x\equiv 30(12)\]
Hacemos el M.C.D (24,12) = 12
Probamos si 12 divide a 30. como no lo divide, no tiene solución
C) Te pide crear una solución en Z15, osea que sea
\[a\equiv 1(15)\] a es un numero cualquiera.
te pide que tenga más de una solucion y que tenga una solucíon.
para que tenga 1 solucion, el M.C.D entre \[(a,15)\]=1
para que tenga más de una solucion
\[(a,15)> 1\]
Ejercicio 3
El polinomio caracteristico es el siguiente:
\[x^{2}-4x-5\]
La solucion general tiene la siguiente forma. \[a_{n}= A.(R_{1}) + B.(R_{2})\]
siendo r1 y r2 las raices del polinomio caracteristico(-1 y 5) segun las respuestas.
entonces te queda: \[a_{n}= A.(-1)^{n} + B .(-5)^{n}\]
Solución particular:
Lo que se hace es lo siguiente, como nos dicen que a1 = 0; a2=1, remplazamos en An.
\[a_{1}= A.(-1)^{1}+B.(-5)^{1} = 0\]
entonces queda.
\[-A-5B = 0\]
Ahora vamos con a2.
\[a_{2}=A.(-1)^{2}+B.(-5)^{2} = 1\]
Esto queda
\[4A+25B = 1\].
Nos queda un sistema, lo resolvemos y nos da que
\[-A-5B = 0\]
\[4A+25B = 1\].
[/color]a= 1/6
B=1/30
Ejercicio 4:
\[Y=(3x-z)\div 3\]
Reflexiva.
Reflexiva
xRx.
\[x=(3x-z)\div 3\] >>>>> 3x + z = 3x >>>>> (3x + z)/3 = x, existe un Z perteneciente a los enteros que para todo x se cumple que (3x+z)/3 = x
Simetrica
xRy entonces yRx
\[Y=(3x-z)\div 3\] >>>>> 3y + z = 3x >>>>> (3y+z)/3 = x , se cumple.
Transitiva
xRy ^ yRq entonces xRq
\[Y=(3x-z)\div 3\] ::::Y:::: \[Q=(3y-z)\div 3\]
despejamos de la primera y queda
\[3Y=(3x-z)\]
lo remplazamos en la segunda
\[Q=(3x-z-z)\div 3\]
\[Q=(3x-z'')\div 3\] siendo z' un entero. z''=(-z'-z)
se cumple.
TEMA TARDE:
Ejercicio 2.
Hay que hacer el diagrama de hasse con los datos que te dan.
\[P(A)= 2^{7}\]
como ven seria largisimo el diagrama de hasse ya que son 64 elementos.
pero como todas las preguntas van directamente a B, lo que hay que hacer es el diagrama de hasse hasta los elementos de B ( y un poco más) para poder ver bien todo lo que te piden.
el diagrama empieza con el "VACIO" , despues va a las letras sola (a,b,c,d,e,f,g)
despues de cada letra a sus grupos por ejemplo , (a,b) (a,c) (a,d) y así hasta cumplir el grupo B y un par más de valores para ver sus cotas.
Ejercicio 3.
A)phi(180) hacemos la funcion de euler.
180 =\[2^{2}.3^{2}.5\]
entonces tenemos que hacer lo siguiente
\[180.(1- \frac{1}{2}). (1- \frac{1}{3}). (1- \frac{1}{5}) = 48\]
B) \[54x\equiv 12(3)\]
Buscamos el m.c.d(54,3).
m.c.d (54,3) = 3
3 divide a 12?, sí.
entonces tiene 3 soluciones, vamos dando valores hasta Z3 (0,1,2,3) y van a ir saliendo las soluciónes.
C) \[12^{145}\equiv 1(11)\]
Transformamos a \[12^{145}\] en \[12^{10.14+5}\]
por el teorema de fermat queda.
\[1^{14}. 12^{5}\]
entonces queda que el resto de \[12^{145}\] es igual al resto de \[12^{5}\]
hacemos la division de \[12^{5}\] dividido 11 y el resto da 1
Ejercicio 4: es igual al de el turno mañana, diferentes numeros.
Ejercicio5.
a) no tengo idea!
b) es verdadero por definicion de particion. (no tiene el infinito) (tiene todos los elementos del conjunto de partes)
c) es verdadero.
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Me falto el ejercicio 1 de ambos temas. El que tenga ganas de hacerlos puede subirlos asi queda completo!
Saludos!