31-07-2012, 18:22
Hola gente, como va todo?
Bueno estaba practicando para el parcial de Algebra y me tope con 2 ejercicios de E.V y S.E.V (14 y 15 mas precisamente) que no puedo resolver. Empecemos:
14. Determinar una base y la dimensión de los siguientes subespacios:
a) \[V = \mathbb{R}^{4}, W=\left \{ X\in \mathbb{R}^{4}/x1+x2- x4=0\ \}\]
b) \[V = P_{2}, W=\left \{ p\in P_{2}/p(-2)=0 \ \}\]
Para el a) lo que hice fue lo siguiente:
Primero puse X4 en funcion de X1 y X2 como:
X4 = X1 + X2
Despues hice forme la base de la siguiente forma:
B = (X1, X2, 0, X1 + X2)
B = (X1, 0, 0, X1) + (0, X2, 0, X2)
B = X1 (1, 0, 0, 1) + X2 (0, 1, 0, 1)
Osea que me quedaron 2 bases, pero en las respuestas estan esas 2 bases + una 3ra base (que no se como sale) que es: (0,0, 1, 0)
Para el b) lo que hice fue algo similar:
El polinomio que se genera tiene la siguiente estructura:
\[4a -2b+c =0\]
Luego puse a en funcion de b y c:
\[a=\frac{2b-c}{4}\]
Y genere la base a partir de ellos:
\[B=(\frac{1}{2}b-\frac{1}{4}c, b, c)\]
\[B=b (\frac{1}{2}, 1, 0) + c (-\frac{1}{2}, 0, 1)\]
Pero nuevamente, la respuesta no es esa sino que es:
\[B=\left \{ x^{2}-4,x+2 \ \}\]
Ahora vamos al ejercicio 15, que dice:
15. Estudie si el siguiente subconjunto es subespacio de \[\mathbb{R}^{nxn}\]
\[S_{2}=\left \{ A\in \mathbb{R}^{nxn}/A = simetrica \ \}\]
El problema que tengo con este ejercicio es que a mi no me da que es un subespacio, pero en las respuestas dice que si lo es. Voy a fundamentar porque digo que no es un subespacio:
iv) El * es cerrrada:
\[A: \begin{pmatrix}7 &3 &4 &5 \\3& 8 & 2 &1 \\ 4& 2 &9 &13 \\5&1 &13 &10 \end{pmatrix}\]
\[B: \begin{pmatrix}1 &8 &9 &10 \\ 8& 2 & 11 &12 \\ 9& 11 &3 &13 \\ 10&12 &13 &4 \end{pmatrix}\]
\[A*B: \begin{pmatrix}(7*1)+(3*8)+(4*9)+(5*10) &(7*8)+(3*2)+(4*11)+(5*12) &(7*9)+(3*11)+(4*3)+(5*13) &(7*10)+(3*12)+(4*13)+(5*4) \\ (3*1)+(8*8)+(2*9)+(1*10) &(3*8)+(8*2)+(2*11)+(1*12) &(3*9)+(8*11)+(2*3)+(1*13) &(3*10)+(8*12)+(2*13)+(1*4) \\ (4*1)+(2*8)+(9*9)+(13*10) &(4*8)+(2*2)+(9*11)+(13*12) &(4*9)+(2*11)+(9*3)+(13*13) &(4*10)+(2*12)+(9*13)+(13*4) \\ (5*1)+(1*8)+(13*9)+(10*10) &(5*8)+(1*2)+(13*11)+(10*12) &(5*9)+(1*11)+(13*3)+(10*13) &(5*10)+(1*12)+(13*13)+(10*4) \\\end{pmatrix}\]
\[A*B: \begin{pmatrix}117 &166 &173 &178 \\ 95 &74 &134 &156 \\ 231 &291 &254 &233 \\ 230&305 &225 &271 \\\end{pmatrix}\]
Y como eso no es una matriz simétrica, entonces se supone que no es un subespacio ya que no cumple con la 4ta condición de existencia de sub espacio vectorial.
¿Que estoy haciendo mal?
Saludos!
edito: No se porque aparece eso de < br/ > . No se como sacarlo. De todas formas, se entiende.
Bueno estaba practicando para el parcial de Algebra y me tope con 2 ejercicios de E.V y S.E.V (14 y 15 mas precisamente) que no puedo resolver. Empecemos:
14. Determinar una base y la dimensión de los siguientes subespacios:
a) \[V = \mathbb{R}^{4}, W=\left \{ X\in \mathbb{R}^{4}/x1+x2- x4=0\ \}\]
b) \[V = P_{2}, W=\left \{ p\in P_{2}/p(-2)=0 \ \}\]
Para el a) lo que hice fue lo siguiente:
Primero puse X4 en funcion de X1 y X2 como:
X4 = X1 + X2
Despues hice forme la base de la siguiente forma:
B = (X1, X2, 0, X1 + X2)
B = (X1, 0, 0, X1) + (0, X2, 0, X2)
B = X1 (1, 0, 0, 1) + X2 (0, 1, 0, 1)
Osea que me quedaron 2 bases, pero en las respuestas estan esas 2 bases + una 3ra base (que no se como sale) que es: (0,0, 1, 0)
Para el b) lo que hice fue algo similar:
El polinomio que se genera tiene la siguiente estructura:
\[4a -2b+c =0\]
Luego puse a en funcion de b y c:
\[a=\frac{2b-c}{4}\]
Y genere la base a partir de ellos:
\[B=(\frac{1}{2}b-\frac{1}{4}c, b, c)\]
\[B=b (\frac{1}{2}, 1, 0) + c (-\frac{1}{2}, 0, 1)\]
Pero nuevamente, la respuesta no es esa sino que es:
\[B=\left \{ x^{2}-4,x+2 \ \}\]
Ahora vamos al ejercicio 15, que dice:
15. Estudie si el siguiente subconjunto es subespacio de \[\mathbb{R}^{nxn}\]
\[S_{2}=\left \{ A\in \mathbb{R}^{nxn}/A = simetrica \ \}\]
El problema que tengo con este ejercicio es que a mi no me da que es un subespacio, pero en las respuestas dice que si lo es. Voy a fundamentar porque digo que no es un subespacio:
iv) El * es cerrrada:
\[A: \begin{pmatrix}7 &3 &4 &5 \\3& 8 & 2 &1 \\ 4& 2 &9 &13 \\5&1 &13 &10 \end{pmatrix}\]
\[B: \begin{pmatrix}1 &8 &9 &10 \\ 8& 2 & 11 &12 \\ 9& 11 &3 &13 \\ 10&12 &13 &4 \end{pmatrix}\]
\[A*B: \begin{pmatrix}(7*1)+(3*8)+(4*9)+(5*10) &(7*8)+(3*2)+(4*11)+(5*12) &(7*9)+(3*11)+(4*3)+(5*13) &(7*10)+(3*12)+(4*13)+(5*4) \\ (3*1)+(8*8)+(2*9)+(1*10) &(3*8)+(8*2)+(2*11)+(1*12) &(3*9)+(8*11)+(2*3)+(1*13) &(3*10)+(8*12)+(2*13)+(1*4) \\ (4*1)+(2*8)+(9*9)+(13*10) &(4*8)+(2*2)+(9*11)+(13*12) &(4*9)+(2*11)+(9*3)+(13*13) &(4*10)+(2*12)+(9*13)+(13*4) \\ (5*1)+(1*8)+(13*9)+(10*10) &(5*8)+(1*2)+(13*11)+(10*12) &(5*9)+(1*11)+(13*3)+(10*13) &(5*10)+(1*12)+(13*13)+(10*4) \\\end{pmatrix}\]
\[A*B: \begin{pmatrix}117 &166 &173 &178 \\ 95 &74 &134 &156 \\ 231 &291 &254 &233 \\ 230&305 &225 &271 \\\end{pmatrix}\]
Y como eso no es una matriz simétrica, entonces se supone que no es un subespacio ya que no cumple con la 4ta condición de existencia de sub espacio vectorial.
¿Que estoy haciendo mal?
Saludos!
edito: No se porque aparece eso de < br/ > . No se como sacarlo. De todas formas, se entiende.