Hola, hoy en el parcial me tomaron esto y no se me ocurrio como hacerlo.
Probar que si f(x,y) es diferenciable en (0,0), es continua.
Como se prueba esto?
Gracias!!
Javeir
Se cumple por definicion que si f es diferenciable
\[f(\overline{x})=f(\overline{A})+\nabla f(\overline{A})(\overline{x}-\overline{A})+\alpha(\overline{x})\]
si y solo si \[\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}\frac{\alpha(\overline{x})}{||\overline{x}-\overline{A}||}=0\]
D) partimos de
\[f(\overline{x})=f(\overline{A})+\nabla f(\overline{A})(\overline{x}-\overline{A})+\alpha(\overline{x})\]
y multiplicamos y dividimos \[\alpha (x)\] por \[||\overline{x}-\overline{A}||\]
nos queda
\[f(\overline{x})=f(\overline{A})+\nabla f(\overline{A})(\overline{x}-\overline{A})+\frac{\alpha(\overline{x})}{||\overline{x}-\overline{A}||}||\overline{x}-\overline{A}||\]
aplicando limites
\[\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}f(\overline{x})=\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}\left(f(\overline{A})+\nabla f(\overline{A})(\overline{x}-\overline{A})+\frac{\alpha(\overline{x})}{||\overline{x}-\overline{A}||}||\overline{x}-\overline{A}||\right)\]
por la linealidad del limite en el segundo miembro nos queda
\[\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}f(\overline{A})+\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}\nabla f(\overline{A})(\overline{x}-\overline{A})+\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}\frac{\alpha(\overline{x})}{||\overline{x}-\overline{A}||}||\overline{x}-\overline{A}||\right)\]
analizamos por partes
\[\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}f(\overline{A})=f(\overline{A})\]
\[\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}\nabla f(\overline{A})(\underbrace{\overline{x}-\overline{A}}_{\to 0})=0 \]
\[\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}\underbrace{\frac{\alpha(\overline{x})}{||\overline{x}-\overline{A}||}}_{\mbox{0 por definicion}} \underbrace{||\overline{x}-\overline{A}||}_{\to 0}=0\]
finalmente
\[\lim_{\overline{x}\to\overline{A}}f(\overline{x})=f(A)\]
por lo tanto f es diferenciable y continua en A
fir me gano de mano
Jajajaja, Vos te tomaste el trabajo de pasarlo yo mande link (?)
igual no es la misma, bah parte de la misma definicion pero en el camino utiliza la definicion alternativa de diferenciabilidad, asi que dos opciones no vienen mal a nadie jeje, como digo siempre, uno utiliza la mejor herramienta que tiene a mano a la hora de encarar un problema