Hola gente, como va?
Bueno haciendo parciales me tope con este ejercicio de optimizacion que dice:
Halle la altura del cilindro de volumen maximo que puede inscribirse en una esfera de radio R. (OP = x, PQ = r, r radio del cilindro, volumen del cilindro = superficie de base por altura).
El dibujo es el siguiente:
![[Imagen: 48080155.png]](https://camo.utnianos.com.ar/faba4c51ed90727814749e3e5ee2e43500659a01/687474703a2f2f696d673235362e696d616765736861636b2e75732f696d673235362f353734312f34383038303135352e706e67)
Pensé como hacerlo, pero no llego a nada. ¿Que se le ocurre?
Saludos
Lo di hace poco en una clase ese ejercicio, jaja!
El volumen del cilindro es \[V=\pi .r^{2}.h\]
Necesitas relacionar la altura y el radio para que te quede una sola incognita
Usando Pitagoras:
\[(\frac{h}{2})^{2}+r^{2}=R^{2}\]
De ahi podes despejar \[r^{2}\] y te queda:
\[V(h)=\pi .(R^{2}-(\frac{h}{2})^{2}).h\]
Y esa es la funcion con la que tenes que hallar el máximo (recordar que R es constante!)
(15-08-2012 15:32)sentey escribió: [ -> ]Lo di hace poco en una clase ese ejercicio, jaja!
El volumen del cilindro es \[V=\pi .r^{2}.h\]
Necesitas relacionar la altura y el radio para que te quede una sola incognita
Usando Pitagoras:
\[(\frac{h}{2})^{2}+r^{2}=R^{2}\]
De ahi podes despejar \[r^{2}\] y te queda:
\[V(h)=\pi .(R^{2}-(\frac{h}{2})^{2}).h\]
Y esa es la funcion con la que tenes que hallar el máximo (recordar que R es constante!)
¿Sabes que eso estaba haciendo? ¨Pero no llegaba a nada. Lo estaba haciendo mal
jaja.
Gracias!
(15-08-2012 15:32)sentey escribió: [ -> ]Lo di hace poco en una clase ese ejercicio, jaja!
El volumen del cilindro es \[V=\pi .r^{2}.h\]
Necesitas relacionar la altura y el radio para que te quede una sola incognita
Usando Pitagoras:
\[(\frac{h}{2})^{2}+r^{2}=R^{2}\]
De ahi podes despejar \[r^{2}\] y te queda:
\[V(h)=\pi .(R^{2}-(\frac{h}{2})^{2}).h\]
Y esa es la funcion con la que tenes que hallar el máximo (recordar que R es constante!)
Disculpa por revivir el tema, pero lo resolvi asi como vos me dijiste, y me dio un resultado en función de R (ya se que es cte, pero cuando derivas, no desaparece por estas junto con x (en tu caso seria h)).
Puede ser?
Saludos!
Si desaparecería...el volumen seria constante para cualquier esfera que uses, sea la tierra o una pelotita de ping pong
(17-08-2012 11:59)Brich escribió: [ -> ]Si desaparecería...el volumen seria constante para cualquier esfera que uses, sea la tierra o una pelotita de ping pong
Te muestro lo que hice:
Tengo que:
r = Radio de Cilindro
x = es la altura del triangulo que se forma con R y r (seria la mitad de la altura del cilindro)
\[R^{2}=r^{2}+x^{2}\]
\[r^{2}=R^{2}-x^{2}\]
Entonces como:
\[V = \pi *r^{2}*h\]
Te queda que:
\[V = \pi *(R^{2}-X^{2})*2x\]
\[V = 2*\pi *R^{2}*x-2\pi *x^{3}\]
\[V' = 2*\pi *R^{2}-6\pi *x^{2}\]
\[0= 2*\pi *R^{2}-6\pi *x^{2}\]
\[x=\sqrt{\frac{1}{3}}*R\]
Te queda x en función de R. ¿Esta bien?
\[V(h)=\pi .(R^{2}-(\frac{h}{2})^{2}).h\]
derivas...
despejas...
te queda que \[X=\frac{2\sqrt{3}.R}{3}\] lo que es igual a \[x=2.\sqrt{\frac{1}{3}}*R\]
Y como te respondí antes....miralo de esta forma, si no dependería del R...te quedaría un volumen constante para cualquier esfera, entendes?...
Esta bien que te quede en funcion del R.
Saludos
Disculpa me entendiste mal...yo digo como "pensemos un poco.." como " fijate de esta manera..." o " si lo ves de esta manera"
Me entendes?...es mi forma de decir, no era para que vos pienses un poco de forma literal
Te lo edito por que visto asi parece que te estoy bardeando
![[Imagen: 48080155.png]](http://imageshack.us/photo/my-images/256/48080155.png/)
