25-09-2012, 14:59
Hola, les dejo el enunciado de este ejercicio (La parte borrosa en la segunda imagen dice Nu(T) = S
[attachment=4373]
[attachment=4374]
Yo lo que plantee fue esto para el a)
(los ceros de la matriz los saque por comodidad)
\[\begin{pmatrix}1 & 2k & |0\\ -1 & -2 & |0\\ k+1 & 4 & |0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 2k & |0\\ 0 & -2+2k & |0\\ 0 & -2k^{2}-2k+4 & |0\end{pmatrix}\]
\[\Rightarrow -2k^{2} -2k +4 = 0 \wedge -2+2k=0 \Rightarrow k=-2 \wedge k=1\]
Pero después no se como plantear la parte del epimorfismo, yo plantee el mismo sistema que antes y lo iguale a (x,y,z,w) que serian las imágenes, pero me queda horripilante cuando lo voy resolviendo. La respuesta que da la guía es k=1.
Para la parte b)
yo lo que pensé fue que las transformaciones de S son nulas ya que es el núcleo, y tengo 2 transformaciones mas, entonces planteo que:
\[(A;B;C;D) = \alpha (0;0;1;0) + \beta (1;0;0;0) + \gamma (1;-1;0;1) + \theta (2;-2;0;4)\]
Si no tuve error de cuentas me quedo asi:
\[\alpha =c\]
\[\beta = A+B\]
\[\gamma = -2B-D\]
\[\theta \frac{1}{2}D + \frac{1}{2}B\]
Aplico la transformación:
\[T(A;B;C;D) = \alpha T(0;0;1;0) + \beta T(1;0;0;0) + \gamma T(1;-1;0;1) + \theta T(2;-2;0;4)\]
Como las del núcleo son nulas no hago las cuentas
\[T(A;B;C;D) = C (1;1;0) + (A+B) (2;1;3)\]
\[T(A;B;C;D) = (2A+B+C; A+B+C; 3A+3B)\]
Pero la repseusta de la guia dice:
\[T(A;B;C;D) = (2A+4B+C+2D; A+2B+C+D; 3A+6B+3D)\]
No se que esta mal en mi planteo. Gracias!
[attachment=4373]
[attachment=4374]
Yo lo que plantee fue esto para el a)
(los ceros de la matriz los saque por comodidad)
\[\begin{pmatrix}1 & 2k & |0\\ -1 & -2 & |0\\ k+1 & 4 & |0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 2k & |0\\ 0 & -2+2k & |0\\ 0 & -2k^{2}-2k+4 & |0\end{pmatrix}\]
\[\Rightarrow -2k^{2} -2k +4 = 0 \wedge -2+2k=0 \Rightarrow k=-2 \wedge k=1\]
Pero después no se como plantear la parte del epimorfismo, yo plantee el mismo sistema que antes y lo iguale a (x,y,z,w) que serian las imágenes, pero me queda horripilante cuando lo voy resolviendo. La respuesta que da la guía es k=1.
Para la parte b)
yo lo que pensé fue que las transformaciones de S son nulas ya que es el núcleo, y tengo 2 transformaciones mas, entonces planteo que:
\[(A;B;C;D) = \alpha (0;0;1;0) + \beta (1;0;0;0) + \gamma (1;-1;0;1) + \theta (2;-2;0;4)\]
Si no tuve error de cuentas me quedo asi:
\[\alpha =c\]
\[\beta = A+B\]
\[\gamma = -2B-D\]
\[\theta \frac{1}{2}D + \frac{1}{2}B\]
Aplico la transformación:
\[T(A;B;C;D) = \alpha T(0;0;1;0) + \beta T(1;0;0;0) + \gamma T(1;-1;0;1) + \theta T(2;-2;0;4)\]
Como las del núcleo son nulas no hago las cuentas
\[T(A;B;C;D) = C (1;1;0) + (A+B) (2;1;3)\]
\[T(A;B;C;D) = (2A+B+C; A+B+C; 3A+3B)\]
Pero la repseusta de la guia dice:
\[T(A;B;C;D) = (2A+4B+C+2D; A+2B+C+D; 3A+6B+3D)\]
No se que esta mal en mi planteo. Gracias!