Hola, yo falte a la clase que justo dieron este tema y estuve tratando de hacer algunos ejercicios, los primeros los saque medio a las patadas, pero no pude continuar..... me ayudan con este ejercicio a ver como se resuelve, porque me queda con raiz doble y no se como plantearlo:
\[\int \frac{5-x}{x^{2}+2x+1}dx\]
como \[x^{2}+2x+1\] es \[(x+1)^{2}\] no supe como resolver cuando separo en A y B
\[\frac{5-x}{x^{2}+2x+1}= \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{x+1}\]
Asi fue como resolvi los otros que me dieron bien, pero en este caso no puedo dar valores a x porque se me van A y B a la vez.
Cuando es raiz doble, la descomposicion en fracciones simples es asi:
\[\frac{...}{ax^{2}+bx+c}=\frac{A}{(x-r)^{2}}+\frac{B}{x-r}\]
mmm..... ok, entonces yo plantee esto:
\[\frac{5-x}{(x+1)^{2}}=\frac{A}{(x+1)^{2}}+\frac{B}{(x+1)}\]
De ahi obtengo que:
\[A+B(x+1)=5-x\]
entonces si x=-1 ----> A = 6
Pero con B que hago? como logro obtenerlo?
La respuesta de la guia es:
\[\frac{-6}{x+1}+\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+C\]
No se si esta bien, porque tiene muchos errores la guia esta. Pero por las dudas lo pongo.
Para hallar B, dale cualquier valor a X, y ya sabes A
B lo obtenes tomando otro valor a X.
En este caso el mas conveniente sería X=0
A + B = 5
B= -1
Entonces te queda:
\[\int \frac{6}{(x+1)^{2}} + \int \frac{-1}{x+1}\]
\[6\int \frac{1}{(x+1)^{2}} - \int \frac{1}{x+1}\]
Analizamos \[\int \frac{1}{(x+1)^{2}} \]
u= (x+1)
du=dx
\[\int \frac{du}{u^{2}} \] = \[\frac{-1}{u}\] = \[\frac{-1}{x+1}\]
\[\int \frac{1}{x+1}\] = ln |x+1|[/tex]
Recomponiendo llegamos a
\[\frac{-6}{x+1} - ln |x+1|+c\]
Perdon, no se si estoy muy perdido o que, al darme b=-1 me queda que:
\[\int (\frac{A}{(x+1)^{2}}+\frac{B}{(x+1)})dx=6\int (x+1)^{-2}dx-1\int \frac{1}{(x+1)}dx=\frac{2}{(x+1)^{3}}-ln\left | x+1 \right |\]
Y ni a palos es = a la respuesta de la guia, esta bien lo que hice y la respuesta de la guia esta mal? o yo estoy mal?
Acordate que:
\[\int x^2\] = \[\frac{x^{3}}{3}\]
Entonces:
\[\int x^{-2}\] = \[\frac{x^{-1}}{-1}\]
Por lo que:
\[\int (x+1)^{-2}\] = \[\frac{(x+1)^{-1}}{-1}\]
Derive!!!!!!!!! jajaja, derive y no me di cuenta, en lugar de integrar
que bola jaja, genial gracias! el 1/2 que da en el ln esta demas no? porque no lo logro sacar de ninguna manera.
Si, esta mal ese 1/2, es 1
Agrego algo para el que le sirva, si bien el ejercicio esta resuelto, otra forma de encarar estos problemas (sino lo piden por fracciones parciales) reescribir la integral, haciendo previamente una pequeña cuenta, si aplico sustitución sobre el divisor haciendo
\[u=x^2+2x+1\to du=2x+2\]
operando algebraícamente sobre el numerador intento obtener el du la integral se puede escribir como
\[-\int\frac{x-5}{x^2+2x+1}dx\]
operando sobre el numerador
\[x-5=\frac{1}{2}\left(2[(x-5)-12+12]\right )\]
finalmente la integral se puede escribir como
\[-\frac{1}{2}\int\frac{x-5}{x^2+2x+1}dx=-\frac{1}{2}\int\frac{(2x+2)+12}{x^2+2x+1}dx\]
por la linealidad de la integral la podemos dividir como
\[-\frac{1}{2}\int\frac{(2x+2)+12}{x^2+2x+1}dx=-\frac{1}{2}\left( \int\frac{(2x+2)}{x^2+2x+1}dx+\int\frac{12}{(x+1)^2}dx\right)\]
la primera es "inmediata" la segunda por sustitución